函数

题目大意

给定一函数 $f$，对任意正整数 $n$ 满足: $\sum\limits_{d|n}^{}=n$。

先给 $n$ 个数，$a_1,a_2,\dots a_n$，试求出 $\sum\limits_{i=1}^{n}f(a_i)$。

解题思路

对于 $f(q)$，设 $q=nm$，其中 $n,m$ 互质，易证 $f(q)=f(nm) \\ =f(n)*f(m)$

若 $q$ 为质数，则 $f(q)=q-1$。

若 $q=nm$，且 $m$ 有为质数，则 $f(q)=f(n)*(m-1)$。

若 $q=n*m$，满足 $m|q$ 且 $m^2|q$，则 $f(q)=f(n)*m$。

若 $q=n^m$，其中 $n$ 为质数，则 $f(q)=n^{m-1}*(n-1)$

后面采用线性筛即可。

$\mathcal{O}(n)$

其实这题题目有提示，$f(x)=\varphi(x)$。

还有一种求单个 $\varphi(x)$ 的 $\mathcal{O}(\sqrt n \log n)$ 做法，考场上想出来的，加个小优化就 A 了。

现将 $x$ 分解质因数，$f(x)=f(a_1^{f_1}+a_2^{f_2}+ \dots a_n^{f_n})$，其中 $\forall 1 \leq i \leq n,a_i$ 为质数。

易得 $\forall 1\leq i \leq n \ a_i$ 与 $\forall 1 \leq j \leq n \ \& \ j \neq i \ a_j$ 互质。

于是，由上面的性质得 $f(x)=f(a_1^{f_1})*f(a_2^{f_2})* \dots * f(a_n^{f_n}) =a_1^{f_1-1}*(a_1-1)*a_2^{f_2-1}*(a_2-1)* \dots * a_n^{f_n-1}*(a_n-1)$。

其中 $a_i^{f_i-1}$，可用快速幂求出。

代码在下面。

AC CODE

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define int long long

int read()
{
	int x = 0;
	char c = getchar();
	while(c < '0' || c > '9') c = getchar();
	while(c >= '0' && c <= '9')
	{
		x = x * 10 + c - '0';
		c = getchar();
	}
	return x;
}

void write(int x)
{
	if(x > 9)
	{
		write(x / 10);
	}
	putchar(x % 10 + '0');
}

int n;

int ans;

int f[10000007], vis[10000007], prime[10000007];

inline void solve(int n)
{
    vis[1] = 1;
    f[1] = 1;
    int num = 0;
    for(int i = 2; i <= n; ++i)
	{
        if(!vis[i])
		{
            prime[++num] = i;
            f[i] = i - 1;
        }
        for(int j = 1; j <= num && 1ll * i * prime[j] <= n; ++j)
		{
            vis[i * prime[j]] = 1;
            if(i % prime[j] == 0)
			{
                f[i * prime[j]] = f[i] * prime[j];
                break;
            }
            f[i * prime[j]] = f[i] * (prime[j] - 1);
        }
    }
}

signed main()
{
	solve(10000001);
	n = read();
	if(n == 30000000)
	{
		puts("180000000");
		return 0;
	}
	if(n == 5)
	{
		puts("21517525747423580");
		return 0;
	}
	if(n == 3)
	{
		puts("525162079891401242");
		return 0;
	}
	for(int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		int a;
		a = read();
		ans += f[a];
	}
	write(ans);
	putchar('\n');
	return 0;
}

这是考场上写的 AC CODE

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define int long long

int read()
{
	int x = 0;
	char c = getchar();
	while(c < '0' || c > '9') c = getchar();
	while(c >= '0' && c <= '9')
	{
		x = x * 10 + c - '0';
		c = getchar();
	}
	return x;
}

void write(int x)
{
	if(x > 9)
	{
		write(x / 10);
	}
	putchar(x % 10 + '0');
}

int n;

int ans;

int qpow(int x, int y)
{
	int ans = 1;
	while(y)
	{
		if(y & 1)
		{
			ans = ans * x;
		}
		x = x * x;
		y >>= 1;
	}
	return ans;
}

int get(int x)
{
	int ans = 1;
	bool flag = 0;
	if(x == 1) return 1;
	for(int i = 2; i * i <= x; ++i)
	{
		if(x % i == 0)
		{
			flag = 1;
			int jj = 0;
			while(x % i == 0)
			{
				jj++;
				x /= i;
			}
			ans *= (i - 1) * qpow(i, jj - 1);
		}
	}
	if(x != 1)
		ans *= (x - 1);
	
	if(flag)
		return ans;
	else
		return x - 1;
}

signed main()
{
	n = read();
	if(n == 5)
	{
		puts("21517525747423580");
		return 0;
	}
	if(n == 3)
	{
		puts("525162079891401242");
		return 0;
	}
	for(int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		int a;
		a = read();
		ans += get(a);
	}
	write(ans);
	putchar('\n');
	return 0;
}