CF689C Mike and Chocolate Thieves

题目大意

给定一个数 $n$，求最小的 $t$，使得存在恰好 $n$ 个不同的等比数列 $a_1,a_2,a_3,a_4$，满足 $1\le a_1<a_2<a_3<a_4\le t$。

解题思路

设等比数列为 $a_1,a_2,a_3,a_4$，其公比为 $q$，

则有 $a_4=a_1\cdot q^3$。

对于每个公比 $q$，首项 $a_1$ 可以从 $1$ 开始取，其间只需满足 $a_4\le t$，即 $a_1\cdot q^3\le t$。

通过移项可以得到 $a_1\le \dfrac{t}{q^3}$，所以 $a_1$ 的值可以取 $\left [1,\left \lfloor \dfrac{t}{q^3} \right \rfloor \right ]$ 的所有正整数，

所以此时就有 $\left \lfloor \dfrac{t}{q^3} \right \rfloor$ 个满足条件的等比数列。

容易发现，$n$ 具有单调性，即 $n$ 会随着 $t$ 的变大而变大，又因为 $n$ 的范围为 $[1,10^{15}]$，所以考虑二分答案 $t$。

具体见代码。

CODE

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long

int n, l, r, mid, ans;

inline int check(int t)
{
    int q, cnt = 0;
    for (q = 2; q * q * q <= t; q++)
        cnt += t / (q * q * q);
    return cnt;
}

signed main()
{
    scanf("%lld", &n);
    l = 1;
    r = 1e18;
    while (l <= r)
    {
        mid = l + r >> 1;
        if (check(mid) >= n)
        {
            ans = mid;
            r = mid - 1;
        }
        else
            l = mid + 1;
    }
    if (check(ans) == n)
        printf("%lld", ans);
    else
        printf("-1");
    return 0;
}