CF689D Friends and Subsequences

题目大意

给定两个大小为 $n$ 的序列 $a_i,b_i$，求有多少个数对 $(l,r)$，满足 $1\le l\le r\le n$ 且

$$\max_{i=l}^r a_i=\min_{i=l}^r b_i$$

$1 \le n\le 2\times 10^5$，$|a_i|,|b_i|\le 10^9$。

解题思路

ST + 二分。

首先考虑一个 $\mathcal{O}(n^2)$ 算法，不难想到，可以 $\mathcal O(n \log n)$ 预处理 ST 表，然后暴力枚举 $(l,r)$ 看是否满足要求。

我们把问题转化一下，固定左界 $l$，往右不难发现不考虑极端情况越靠近 $l$，$\max\{a_i\}$ 越会小于 $\min\{b_i\}$，越靠近 $n$，$\max\{a_i\}$ 越会大于 $\min\{b_i\}$，在 $[l,n]$ 中会存在一个区间 $[l',r']$ 使得这个区间里的数满足要求。

不难发现这个东西是单调的满足单调，所以直接二分 $l'$ 和 $r'$ 并判断是否满足要求，预处理可以用 ST 表完成，然后让答案加上 $r'-l'+1$ 即可。

时间复杂度 $\mathcal O(n \log n+n \log n)$。

CODE

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long

using namespace std;

int a[200086];
int b[200086];

int mmax[200086][20];
int mmin[200086][20];

int Max(int l, int r)
{
    if (l > r)
        swap(l, r);
    int k = log2(r - l + 1);
    return max(mmax[l][k], mmax[r - (1 << k) + 1][k]);
}

int Min(int l, int r)
{
    if (l > r)
        swap(l, r);
    int k = log2(r - l + 1);
    return min(mmin[l][k], mmin[r - (1 << k) + 1][k]);
}

int findl(int l, int r, int n)
{
    int left = l;
    while (l <= r)
    {
        int mid = (l + r) / 2;
        if (Max(left, mid) < Min(left, mid))
            l = mid + 1;
        else
            r = mid - 1;
    }
    if (l <= n && Max(left, l) == Min(left, l))
        return l;
    else
        return 0;
}

int findr(int l, int r, int n)
{
    int left = l;
    while (l <= r)
    {
        int mid = (l + r) / 2;
        if (Max(left, mid) > Min(left, mid))
            r = mid - 1;
        else
            l = mid + 1;
    }
    if (r >= 1 && Max(left, r) == Min(left, r))
        return r;
    else
        return 0;
}

int n;

signed main()
{
    scanf("%lld", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%lld", &a[i]);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%lld", &b[i]);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        mmax[i][0] = a[i];
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        mmin[i][0] = b[i];
    for (int k = 1; (1 << k) <= n; k++)
        for (int i = 1; i + (1 << k) - 1 <= n; i++)
            mmax[i][k] = max(mmax[i][k - 1], mmax[i + (1 << (k - 1))][k - 1]);
    for (int k = 1; (1 << k) <= n; k++)
        for (int i = 1; i + (1 << k) - 1 <= n; i++)
            mmin[i][k] = min(mmin[i][k - 1], mmin[i + (1 << (k - 1))][k - 1]);
    int cnt = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        int l = findl(i, n, n);
        int r = findr(i, n, n);
        if (l != 0 && r != 0)
        {
            if (l > r)
                swap(l, r);
            int ans = (r - l + 1);
            cnt += ans;
        }
    }
    printf("%lld\n", cnt);
    return 0;
}