CF1603B Moderate Modular Mode

题目大意

给定两个偶数 $x,y$。

求一个 $n \in [1,2\times10^{18}]$ 满足 $n \bmod x = y \bmod n$。

$t$ 组数据。

对于 $100\%$ 的数据，$1 \leq t \leq 10^5,2 \leq x,y \leq 10^9$。

解题思路

当 $x > y$ 时，$(x + y) \bmod x=y \bmod x=y \bmod (x + y)$，所以 $x+y$ 即为答案。

当 $x=y$ 时，$x,y$ 即为答案。

当 $x<y$ 时，很明显 $x \leq n \leq y$。

证明：

如果 $n < x$，那么 $n \bmod x=n$，但 $y \bmod n < n$，不成立，$x \leq n$。

如果 $n >y$，那么 $y \bmod n=y$，但 $n \bmod x < x$，此时 $x \leq y$，不成立，$n \leq y$。

考虑设 $d$ 为 $\leq y$ 且是 $x$ 的倍数的最大数，那么有 $2d>y$。

所以 $1 \leq \frac{y}{d} < 2$，那么 $y \bmod d = y - \left\lfloor \frac{y}{d} \right\rfloor \times d=y-d$。

又因为 $d$ 增加 $1$ 会使 $d\bmod x$ 增加 $1$，而 $y\bmod d$ 会减少 $1$。

所以当 $d$ 增加 $\frac{y \ mod \ d}{2}$ 时，$d \bmod x=y \bmod d$。

CODE

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int T, x, y;

signed main()
{
	scanf("%d", &T);
	while(T--)
	{
		scanf("%d%d", &x, &y);
		if(x > y)
			cout << x + y << "\n";
		else
		{
			int d = y / x * x;
			cout << d + (y % d) / 2 << "\n";
		}
	}
	return 0;
}