CF1614D1 Divan and Kostomuksha (easy version)

题目大意

给定序列 $a_1,a_2,...,a_n$，要求重排 $a$，使得

$$\sum\limits_{i=1}^n \gcd(a_1,a_2,...,a_i)$$

最大。

输出这个最大值。

解题思路

显然，一道 dp。

设 $cnt_i$ 表示数组 $a$ 中是 $i$ 的倍数的元素个数，$dp_i$ 表示时能得到已含有因数 $i$ 结尾排列能获得的最大值。

此时有转移方程

$$dp_i=\max_{j=1}{f_{i \times pri_j} + i \times (cnt_i - cnt_{i \times pri_j})}$$

最后答案为满足 $cnt_i=n$ 的 $dp_i$ 的最大值。

求 $cnt$ 可先筛出所有质数，再枚举 $i$ 和质数集 $pri$，计算 $cnt_i$。

时间复杂度 $\mathcal O(w \log \log w)$，其中 $w$ 为值域。

具体实现见代码。

CODE

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define int long long

inline int read()
{
    int x = 0, f = 1;
    char c = getchar();
    while (c < '0' || c > '9')
    {
        if (c == '-')
            f = -1;
        c = getchar();
    }
    while (c >= '0' && c <= '9')
    {
        x = x * 10 + c - '0';
        c = getchar();
    }
    return x * f;
}

const int _ = 2e7 + 1;

int n;

int ans;

int cnt[_ + 7];

int dp[_ + 7];

bool vis[_];

vector<int> primes;

void init()
{
    for (int i = 2; i < _; ++i)
    {
        if (!vis[i])
            primes.push_back(i);
        for (auto p : primes)
        {
            if (p * i > _)
                break;
            vis[p * i] = 1;
            if (i % p == 0)
                break;
        }
    }
}

signed main()
{
    init();
    n = read();
    for (int i = 1, x; i <= n; ++i)
        cnt[read()]++;
    for (auto p : primes)
        for (int j = _ / p; j >= 1; --j)
            cnt[j] += cnt[j * p];
    for (int i = _ - 1; i >= 1; --i)
    {
        dp[i] = cnt[i] * i;
        for (auto p : primes)
        {
            int j = p * i;
            if (j > _)
                break;
            dp[i] = max(dp[i], dp[j] + i * (cnt[i] - cnt[j]));
        }
        if (cnt[i] == n)
            ans = max(ans, dp[i]);
    }
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}