分块学习笔记

分块是什么

先从经典问题引入：

P3372 【模板】线段树 1

已知一个长为 $n$ 的数列，你需要进行下面两种操作 $m$ 次：

• 将某区间每一个数加上 $k$。
• 求出某区间每一个数的和。

对于 $100\%$ 的数据，保证 $n,m <= 100000$。

最朴素的方法：利用循环结构，对数组内每一个数进行单点加和求值。

显然，当每个区间长度都取到最大值的时候，复杂度为 $\mathcal O(nm)$，不被我们所接受。

引入分块。

分块，顾名思义就是分成很多块，对于每一块的情况单独处理和维护。

假设我们把一个序列分成很多块，每块长度很小，如果每一次的操作都在一块内，使用前面的暴力做法复杂度是可以接受的。

但是，情况远没有我们想象的这么理想，区间长度总是会很长，其中包含了很多块。

此时，左右部分会有两个块不被完全包含，中间所有的块都被完全包含。

显然，左右部分可以使用暴力，那么中间呢？思考一下...完全包含？我们在线段树中也用过这个方法来保证复杂度，lazytag。

对散块，暴力修改或求值，对整块，修改就打 lazytag，求和就把原本记录的整块总和与 lazytag 叠加即可。

假设我们的块长为 $b$ ，那么显然会有 $n / b$ 个块。

对于两边的散块，我们的最大访问元素数是 $b - 1$ 个，总和是 $2b - 2$ 个。

对于中间的整块，我们是打 lazytag，只需要访问每一块整体即可，最多有 $n \div b - 2$ 个块。

访问次数就是 $n \div b + 2b - 4$。

这说明了什么？

我们的复杂度，完全取决于块长。

你块长太小，那么前面的 $n \div b$ 将会让你飞天，你块长太大，后面的 $2b$ 也会让你飞天。

综合之下，我们一般取 $\sqrt{n}$ 为块长。

例题选讲

分块是需要做很多题来补充自己的卡常方法的。

LOJ #6278. 数列分块入门 2

已知一个长为 $n$ 的数列，你需要进行下面两种操作 $n$ 次：

• 将某区间每一个数加上 $c$。
• 求出某区间小于一个数的个数。

对于 $100\%$ 的数据，保证 $n <= 50000$。

对于散块，我们还是暴力计算。 对于整块，我们需要一些技巧。 排序后二分寻找个数。 复杂度 $\mathcal O(n \sqrt{n} \log \sqrt{n})$。

P5356 [Ynoi2017] 由乃打扑克

已知一个长为 $n$ 的数列，你需要进行下面两种操作 $m$ 次：

• 将某区间每一个数加上 $k$。
• 求出某区间第 $k$ 小的数。

对于 $100\%$ 的数据，保证 $n,m <= 100000$。

先二分答案这个值，然后判断是第几小即可。

LOJ #6285. 数列分块入门 9 (https://loj.ac/p/6285)

已知一个长为 $n$ 的数列，你需要进行下面的询问 $n$ 次：

• 询问某区间的最小众数。

对于 $100\%$ 的数据，保证 $n,m <= 100000$。

考虑维护整块答案和连续段整块出现次数，此处可以做到 $\mathcal O(n \sqrt{n})$。

考虑散块答案对整块已有答案影响。

时间复杂度 $\mathcal O(n \sqrt{n})$。

P4135 作诗

已知一个长为 $n$ 的数列，你需要进行下面的询问 $m$ 次：

• 询问某区间出现过且出现次数为偶数次的数的个数。

对于 $100\%$ 的数据，保证 $n,m <= 100000$。

与上一题相同，考虑维护连续整块答案和散块对于整块已有答案的影响。

这里需要开一个桶，为了保证复杂度在 $\mathcal O(sqrt{n})$，不该使用 memset ，将已有操作撤回即可。

CF1620E Replace the Numbers

你有一个数列，初始为空，你需要进行下面的两种操作 $m$ 次：

• 在数列末尾插入一个数 $x$。
• 将所有值为 $x$ 的数改为 $y$。

操作结束后输出最终数列。

对于 $100\%$ 的数据，保证 $m <= 500000$。

考虑并查集。

使用一个 $val$ 表示一个并查集的根所对应的值，使用一个 $name$ 表示一个值所对应的并查集的根。

改值时，如果值 $y$ 目前存在，把 $name \ x$（也就是表示值 $x$ 的并查集所代表的根）合并到 $name \ y$ 处，并且清空 $name \ x$。

如果值 $y$ 目前不存在，就把 $name \ y$ 修改为 $name \ x$，把 $name \ x$ 所对应的 $val$ 修改为 $y$，并且清空 $name \ x$。

P4117 [Ynoi2018] 五彩斑斓的世界

已知一个长为 $n$ 的数列，你需要进行下面的两种操作 $m$ 次：

• 把某区间所有大于 $x$ 的数减去 $x$。
• 查询某区间 $x$ 的出现次数。

对于 $100\%$ 的数据，保证 $n,m <= 1000000，a_i <= 100001$。

空间限制 64MB。

分块照常套路，对于散块暴力减去 $x$，下面只考虑整块。

把大于 $x$ 的数减去 $x$ ，也就是把所有大于 $x$ ，小于等于区间最大值 $maxx$ 的值 $p$ 更改为 $p - x$。

对于每一个整块建立一个并查集，更改值可以参考上一题的做法。

查询出现次数并查集维护一个 $cnt \ x$ 表示 $x$ 的出现次数即可。

但是直接更改值复杂度是错的。

考虑 $maxx = 100001$ 且 $x = 1$ 时，需要进行 $100000$ 次操作。

发现把所有大于 $x$ 的值全都减去 $x$ 等价于把所有小于等于 $x$ 的数全都加上 $x$ 并区间减 $x$。

上面那个例子，如果使用这种修改方法就极其高效。

考虑综合两种方法。

如果 $maxx \leq 2 \cdot x$，使用第一种方法把大于 $x$ 小于等于 $maxx$ 的数 $i$ 改为 $i - x$。

如果 $maxx > 2 \cdot x$，使用第二种方法把小于等于 $x$ 的数 $i$ 改为 $i + x$ 并打上区间减 $x$ 的 tag。

显然该办法的作用就是将整体值域左右端点拉近来保证复杂度，所以最大总操作数为 $n$ 次。

该做法空间复杂度为 $\mathcal O(n \sqrt{n}$，无法通过，逐块处理即可。