令人百思不得其解的东西

结论：

$$\sum_{d|t}\mu^2(d)\mu(\frac{t}{d})=\begin{cases}\mu(\sqrt t) & t \ 分解后指数全部为 \ 2\\ 0 &\text{otherwise}\end{cases}$$

证明：

先考虑 $t$ 不含有平方因子的情况。

此时枚举的 $d$ 相互互质。

设 $f(t)=\sum_{d|t}\mu^2(d)\mu(\frac{t}{d})$，则 $f(t)=f(\prod_{i=1}^{z}{k_i}^{a_i})=\prod_{i=1}^{z}f(k_i^{a_i})$。

容易发现有 $a_i=0$ 或 $a_i=1$ 时 $f(k_i^{a_i})=0$。

所以当 $t$ 不含有平方因子或 $t=1$ 时，$f(t)=0$。

再考虑 $t$ 含有平方因子的情况。

观察原式。

先看 $\mu^2(d)$ 这部分，发现当 $d$ 含有平方因子时，没有贡献。

所以可将原式改成 $\sum_{d|p}\mu^2(d)\mu(\frac{t}{d}),p=\prod_{i=1}^{z}k_i$。

再看 $\mu(\frac{t}{d})$ 这部分，由于 $d$ 不含有平方因子，但 $t$ 含有平方因子，且当 $\frac{t}{d}$ 不含有平方因子时，才有贡献。

所以当 $t$ 含有立方因子时，$\mu(\frac{t}{d})=0$，无贡献。

综合上面所有结论，发现 $t$ 含有平方因子但不含有立方因子，所以 $t$ 分解后指数全部为 $2$。

最后考虑答案的取值，发现当 $d=p$ 时，才有贡献，且由上所得，有 $p=\sqrt t$。

所以答案的取值为 $\mu^2(\sqrt t)\mu(\frac{t}{\sqrt t})=\mu^2(\sqrt t)\mu(\sqrt t)=\mu^3(\sqrt t)=\mu(\sqrt t)$。

证毕。

$$\sum_{t=1}^{n}\sum_{d|t}\mu^2(d)\mu(\frac{t}{d})\lfloor\frac{n}{t}\rfloor\lfloor\frac{m}{t}\rfloor$$