simple tricks

1. 一个区间的斜率最大值一定是相邻两者的斜率最大值。

2. 询问一个序列所有子段的最大值之和，可转换为一个数是多少子段的最大值，单调栈 $\mathcal O(n)$ 维护。

3. $0 \oplus 1 \oplus \cdots \oplus (2^m-1)=0$。

4. 显然的操作 dp 缺少 observation 时，可尝试寻找操作之间的同余关系。

5. 若每个点的出入度都是偶数，则每个点的总度数是偶数，是一张图存在欧拉回路的充要条件。

6. 对于一个环，环外一个点 $s$ 向 $v\in p$（$p$ 为关键点即可）连边跑最短路求 $s$ 到非关键点的最大 $dis$。可枚举环上关键点的前一个点（肯定最优），判断即可。

7. 对于一些点向下递归染色（每次只染一层）的树剖题，可转换为判断每个点是否被染到的模型（使得点到根节点路径上权值的最大前缀和为 $-1$），通常设点权 $-1$，判前/后缀是否 $\leq 0$，消除影响就是设为原点权 $-$ （最大前缀和 $+1$），子树设 $-1$。

8. 给定正整数 $n$，要你构造出正整数序列 $b[1,m]$，使得 $\sum\limits_{i=1}^{m}b_i=n$ 且 $\prod\limits_{i=1}^{m}b_i$ 最大。

   结论：设 $f(n)$ 表示答案，则有：

   $$f(n)=\begin{cases}1&n=1\\3^{n/3} & n \equiv 0 \pmod 3\\3^{(n-4)/3}\cdot 4 & n\equiv 1\pmod 3 \ \operatorname{and} n \ge 4 \\3^{(n-2)/3} \cdot 2 &n\equiv 2 \pmod 3\end{cases}$$

9. 一个上升区间两数异或最小值一定是相邻两者的异或最小值，$\forall i<j<k$，$i\operatorname{ xor }k\ge\min(i\operatorname{ xor }j,j\operatorname{ xor }k)$。

10. $i\operatorname{ xor }j\ge|i-j|$。

11. 判断一个数是否为序列中位数，可以将小于该数的数置为 $-1$，大于等于该数的数置为 $1$。求全局和，若 $< 0$ ，该数大于等于中位数，否则小于等于中位数，二分。

12. $\dbinom{a}{b} \bmod 2 \ne 0$，意味着 $b$ 是 $a$ 的子集，Lucas 定理推到即可，一般套上状压 DP。

13. 一个数能整除起数位上非零的数字，等价于这个数 $\bmod 2520$ 可以整除其非零数字的最小公倍数。