P7448 [Ynoi2007] rdiq

区间本质不同逆序对，要求线性空间。

$\mathcal O(n \sqrt n \times \sqrt n)$ 应该谁都会做，而且谁都知道不能过。

回顾 P5047，考虑莫队二次离线。

记 $f(l,r)$ 为 $[l,r]$ 中 $>a_r$ 的数的种类数。

则区间转移从 $[l,r-1]$ 变成 $[l,r]$，令 $r'$ 为 $a_r$ 上一次出现的位置，则贡献为 $f(l,r)-f(l,r')$，其他方向和一连段转移同理。

考虑到种类数难以维护，尝试通过扫描线转换为总数，问题转化为查询区间内比一个数小的数的个数，需要 $\mathcal O(n)$ 次单点修改，$\mathcal O(n \sqrt n)$ 次矩阵和查询，第一维是下标，第二维是值域，此时点的横坐标和纵坐标一一对应，即横坐标和纵坐标两两不同。

我们需要一个针对上述问题的 $\mathcal O(\sqrt n)-\mathcal O(1)$ 数据结构。

引入二维分块，即对 $n\times n$ 的矩阵进行适当地分块，使得块数 $\mathcal O(\sqrt n)$ 且支持 $\mathcal O(\sqrt n)-\mathcal O(1)$ 或 $\mathcal O(1)-\mathcal O(\sqrt n)$。

首先用将整个矩形用 $n^{0.75}\times n^{0.75}$ 来分块（如图红色部分），这样总块数为 $\mathcal O(n^{0.25}\times n^{0.25}=\sqrt n)$ 的，整块复杂度保证。

考虑分剩余块，使得较小块复杂度保证，不证：

• $n^{0.25}\times n^{0.25}$ 个 $n^{0.75}\times n^{0.5}$ 大小的块，蓝色部分。
• $n^{0.25}\times n^{0.25}$ 个 $n^{0.5}\times n^{0.75}$ 大小的块，绿色部分。
• $n^{0.25}\times n^{0.25}$ 个 $n^{0.5}\times n^{0.5}$ 大小的块，橙色部分。

如图，例：$155$。

最后考虑灰色块复杂度，由于询问横坐标和纵坐标两两不同，而灰色块宽度不超过 $\mathcal O(\sqrt n)$，涉及的询问只有 $\mathcal O(\sqrt n)$ 种，故散块修改 $\mathcal O(\sqrt n)$，查询 $\mathcal O(1)$，复杂度保证。

时间复杂度为 $\mathcal O(n\sqrt n)$，空间复杂度为 $\mathcal O(n)$。

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