ARC121E Directed Tree

ARC121E Directed Tree

一个点如果想要合法，首先不能和子树中的点重复，其次不能填子树中的点的编号 —— 这会有后效性，使得我们非常困难地处理 DP 转移。但是如果我们考虑不合法，十分简单 —— 只需要填入子树中的其中一个，并且不和子树中不合法的点填同样的数字即可。

正难则反，看成有多个限制形如 $i$ 不能在 $i$ 的子树除自己中出现，考虑容斥，记 $F(i)$ 表示有 $i$ 个不合法点，其他不确定的方案数，答案即为 $\sum\limits_{i=0}^{n}(-1)^i\times F(i)$。

考虑 DP，设 $f_{u,i}$ 表示 $u$ 的子树内有 $i$ 个不合法点的情况，转移时先统计儿子的方案数。

$$f_{u,a+b}\leftarrow f_{u,a+b}+f'_{u,a}\times f_{v,b}$$

再考虑转移 $u$ 点的方案数，$u$ 能填的不合法位置有 $siz_u-1$ 个，目前已经填了 $i-1$ 个，有 $siz_u-i$ 个能填的位置，$i$ 从大到小更新不重复。

$$f_{u,i}\leftarrow f_{u,i}+(siz_u-i)f_{u,i-1}$$

最后答案显然是 $\sum\limits_{i=0}^{n}(-1)^i \times f_{1,i} \times (n-i)!$，其中 $f_{1,0}=1$。

时间复杂度 $\mathcal O(n^2)$。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define int long long
#define he putchar('\n')
#define ha putchar(' ')

typedef long long ll;

inline int read()
{
	int x = 0, f = 1;
	char c = getchar();
	while(c < '0' || c > '9')
	{
		if(c == '-') f = -1;
		c = getchar();
	}
	while(c >= '0' && c <= '9')
		x = x * 10 + c - 48, c = getchar();
	return x * f;
}

inline void write(int x)
{
	if(x < 0)
	{
		x = -x;
		putchar('-');
	}
	if(x > 9) write(x / 10);
	putchar(x % 10 + 48);
}

const int _ = 2010, mod = 998244353;

int n, ans, fac[_], f[_][_], siz[_], t[_];

vector<int> d[_];

void dfs(int u, int fa)
{
	f[u][0] = 1;
	for(int v : d[u])
	{
		if(v == fa) continue;
		dfs(v, u);
		for(int j = 0; j <= siz[u]; ++j)
			for(int k = 0; k <= siz[v]; ++k)
				t[j + k] = (t[j + k] + f[u][j] * f[v][k] % mod) % mod;
		siz[u] += siz[v];
		for(int j = 0; j <= siz[u]; ++j) f[u][j] = t[j], t[j] = 0;
	}
	++siz[u];
	for(int i = siz[u] - 1; i >= 0; --i)
		f[u][i + 1] = (f[u][i + 1] + (siz[u] - i - 1) * f[u][i] % mod) % mod;
}

signed main()
{
	n = read();
	for(int i = 2, x; i <= n; ++i)
	{
		x = read();
		d[i].push_back(x), d[x].push_back(i);
	}
	dfs(1, 0);
	fac[0] = 1;
	for(int i = 1; i <= n; ++i) fac[i] = 1ll * fac[i - 1] * i % mod;
	for(int i = 0; i <= n; ++i) ans = (ans + (i & 1 ? -1 : 1) * f[1][i] * fac[n - i] % mod + mod) % mod;//, cout << ans << "!!!\n";
	write((ans % mod + mod) % mod), he;
	return 0;
}