CF1750E Bracket Cost && P9356 「SiR-1」Bracket 题解

大体相同。

CF1750E Bracket Cost

我们能对一个括号序列做以下操作：

• 选择一个子串，将其循环右移一位。比如，(()) 循环右移一位之后变为 )(()。
• 在括号序列的任意位置加一个左括号或右括号。

记这个括号序列的代价为能将其变为匹配序列的最少操作次数。

给一个括号序列，求其非空子串的代价之和。$n\leq 2\times 10^5$。

---

法一

考虑一个括号序列的代价，将匹配的括号删去，则序列形如 )))((，记 ) 有 $x$ 个，( 有 $y$ 个，则使用 $\min(x,y)$ 个操作 $1$ 循环位移，$|x-y|$ 次操作 $2$ 补上括号，总次数 $\max(x,y)$。

考虑分别表示出 $x,y$，记 $s_i$ 表示前缀 ( 个数 - ) 个数。

注意到一些匹配的括号和为 $0$，即不影响前缀和，根据最后序列形如 )))((，考虑找到左右括号分界处，即为 $s_{l-1,r}$ 的最小值 $s_x$，则之前有 $-(s_x-s_{l-1})$ 个 ( 无法匹配，之后有 $s_r-s_x$ 个 ) 无法匹配，所以：

$$\begin{aligned} ans &= \sum_{l,r}\max(-(\min_{i=l-1}^{r}s_i-s_{l-1}),s_r-\min_{i=l-1}^{r}s_i-s_{l-1})\\ &= \sum_{l,r}\max(s_{l-1},s_r)-\min_{i=l-1}^{r}s_i \\ &=\sum_{l=0}^{n}\sum_{r=l+1}^{n}\max(s_l,s_r)-\min_{i=l}^{r}s_i \end{aligned}$$

前者排序处理，后者单调栈。

桶排即可做到 $\mathcal O(\sum n)$。

法二

将法一的匹配括号和未匹配括号和起来考虑，设一个序列有 $L$ 个 ( 和 $R$ 个 )，$x$ 对匹配的括号，则代价为 $\max(L-x,R-x)=\max(L,R)-x$。

则 $ans=\sum\limits_{l,r}max(L,R)-x$。

对于 $\sum \max(L,R)$，有 $\max(L,R)=\frac{(L+R)+|L-R|}{2}$，维护前缀和，拆开绝对值，容易求。

考虑 $\sum x$，假设当前一个 )，找到前面第一个与其匹配的 (，分别记为 $l,r$，那么贡献为 $l\times (n-r+1)$，即包含这对括号的区间个数。

桶排，复杂度 $\mathcal O(\sum n)$。

P9356 「SiR-1」Bracket

我们能对一个括号序列做以下操作：

• 将序列循环右移任意位。。
• 在括号序列的任意位置加一个左括号或右括号。

记这个括号序列的代价为能将其变为匹配序列的最少操作次数。

给一个括号序列，求其非空子串的代价之和。$n\leq 2\times 10^7$。

---

设一个序列有 $L$ 个 ( 和 $R$ 个 )，$x$ 对匹配的括号，则代价为 $|L-R|+[x \ne min(L,R)]$。

前者容易算，对于后者，考虑