UOJ Easy Round #11A. 切割冰片

UOJ Easy Round #11A. 切割冰片

观察到每条横线盖住的竖线不交且连续且单调。

设 $f_{i,j}$ 表示考虑了前 $i$ 条横线，前 $j$ 条竖线。

枚举第 $i$ 条横线覆盖了几条竖线。

若 $j \leq l_i$，则 $f[i][j] = \sum_{k=0}^{j}f[i-1][k]$。

若 $j > l_i$，则 $f[i][j] = f[i - 1][j]$

发现相当于是对一个长度 $10^9$ 的数组的前若干项做前缀和，然后询问和。

考虑优化 $m$ 维。

法一

考虑快速维护一个结构，满足数列全体求前缀和，询问单点，全体加一个值，便可很好维护上述过程。

构造多项式：

$$f(x)=\sum_{i=0}^{n}a_i\binom{x+i}{i}$$

做前缀和：

$$\begin{aligned} g(x)&=\sum_{i=0}^x f(i)\\ &=\sum_{i=0}^x \sum_{j=0}^{num} a_j{i+j \choose j}\\ &=\sum_{j=0}^{n} a_j \sum_{i=0}^x {i+j \choose j}\\ &=\sum_{j=0}^{n} a_j {x+j+1 \choose j+1}\\ &=\sum_{i=1}^{n+1} a_{i-1} {x+i \choose i} \end{aligned}$$

于是将系数右移即可，还可通过 $a_0\leftarrow a_0+val$ 实现全体加值。

将整个序列拆成 $\mathcal O(n)$ 段，分别维护即可。

struct Poly {
	int f[_], num;
	void init () {
		f[num = 0] = 0;
	}
	void add(int x) {
		f[0] += x;
	}
	void upd() {
		++num;
		dF(i, num, 1) f[i] = f[i - 1];
		f[0] = 0;
	}
	int qry(int x) {
		int res = 0;
		int nw = 1;
		F(i, 0, num) {
			res = (res + 1ll * f[i] * nw % mod) % mod;
			nw = 1ll * nw * inv[i + 1] % mod * (x + i + 1) % mod;
		}
		return res;
	}
} g[_];

法二

将整个序列拆成 $\mathcal O(n)$ 段，维护每段的 $k$ 阶前缀和。

$k$ 阶前缀和公式：

$$S_{k,i} = \sum_{1 \le j \le i} \binom{k + i - j - 1}{k-1}a_j$$

路径计数，推推组合数即可。

dp[0][0] = f[0][0] = 1;
	for (int i = 1; i <= tot; i++) f[0][i] = ADD(f[0][i - 1], dp[0][i]);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		dp[i][0] = 1;
		for (int j = 1; j <= tot; j++) {
			if (L[i] < lsh[j]) {
				for (int k = j; k <= tot; k++) dp[i][k] = dp[i - 1][k];
				break ;
			}
			int res = 1, nn = lsh[j] - lsh[j - 1] - 1, mm = 0;
			for (int k = i; k >= 1; k--) {
				if (L[k] < lsh[j]) continue;
				++nn, ++mm;
				res = res * nn % mod * inv[mm] % mod;
				dp[i][j] = ADD(dp[i][j], 1ll * f[k - 1][j - 1] * res % mod);
				if (dp[i][j] < 0) dp[i][j] += mod;
			}
		}
		f[i][0] = dp[i][0];
		for (int j = 1; j <= tot; j++) f[i][j] = ADD(f[i][j - 1], dp[i][j]);
	}