CF1835C Twin Clusters 题解

有点神奇。

只要有异或和相等的两个区间即可。

类似生日悖论，期望找到异或和相等的区间为根号值域次，数据小时暴力。

再想想正解。

共有 $2^{2k + 1}=4^k \times 2$ 个区间，但是值域只有 $4^k$，所以必然有解。

我们对值域分成前 $k$ 位和后 $k$ 位考虑，找到 $s_{r1}\oplus s_{l1-1} \oplus s_{r2} \oplus s_{l2-1}=0$ 的对，考虑 $s_{r1} \oplus s_{l1-1}$ 的前 $k$ 位相同，$s_{r2}\oplus s_{l2-1}$ 的前 $k$ 位相同，然后让他们的后 $k$ 位相同，这样就满足条件了。

就是找到前 $k$ 位相同的几堆，每堆可构成堆数减一对，然后考虑它们的后 $k$ 位异或和是否为 $0$。

想想为什么能找到，类似的，前 $k$ 位共有 $2^{k+1}+1=2^k+2^k+1$ 个前缀异或和，但值域只有 $2^k$，所有至少产生 $2^k+2$ 个相同的数，只能找到 $2^k+1$ 对前 $k$ 位相同的数即可，因为后 $k$ 位值域只有 $2^k$，所以一定有重复的。

时间复杂度 $\mathcal O(2^{k+1})$。