P3598 Koishi Loves Number Theory

有

$$\gcd(x^a-1,x^b-1)=x^{\gcd(a,b)}-1$$

和

$$\operatorname{lcm}(S)=\prod_{T\subset S}\gcd(T)^{(-1)^{|T|-1}}$$

于是现在就是要求固定长度和 $\gcd$ 下的子集个数。

一种是发现状态数很少，直接开 map 推过去。

另一种是直接莫反。

$10^9$ 下的因子个数最多 $1344$ 个。

$$ans=\prod_d (x^d-1)^{f(d)}\\ f(n)=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})g(c(n))\\ g(n)=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i-1}\begin{pmatrix}n \\ i\end{pmatrix}$$

$c(n)$ 是倍数出现次数。

发现 $g(n)=1$。

但是这样中间枚举倍数时复杂度会转到值域上。

考虑另一种莫反，记 $F(x)$ 表示 $\gcd$ 至少为 $x$ 时的转移系数之和。

$$F(x)=\sum (-1)^{|S|+1}[x|k,\forall k\in S]$$

发现 $F$ 就是 $g$，所以 $F(x)=1$。

我们现在要容斥出 $\gcd$ 为 $x$ 的转移系数，那么用 $F(x)$ 减去会出现的 $x|y$ 且 $x\ne y$ 的 $F(y)$ 即可。

做完了。

深层次地，$\mu$ 应该是指的对于值域上的数的容斥，对于值域很大但可能出现的数很少的情况下，可以考虑第二种莫反。