2024 1/2 成七训练

合集 - 做题记录(8)

1.2023/11 训练2024-04-08

2.2024 1/2 成七训练2024-04-08

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道路（road）

竞赛图三元环计数，答案为 $C(n,3)-\sum_{i=1}^{n} C(du(i), 2)$。

扫描线维护出度就好了。

图（graph）

考虑最优解是一个森林。

我们想到转到网络流维护。

尝试将图上点随机染色，白点连 $S$，黑点连 $T$，之间的边互连，这样网络流就能找到最优解。

正确率为 $1-(1-\frac{1}{2^k})^w$。

拼图（jigsaw）

考虑对于每个点对 $(a, b)$ 算出有多少对 $(i,j)$ 途径了这个状态。

考虑倒退，从 $(a,b)$ 到 $(a,a+b)$ 和 $(a+b,b)$。

这东西类似 S-B-T，可以生成所有的 $ai+bj\le n$ 且 $(i,j)=1$。

后面就是推式子了。

钥匙（key）

等价于找半平面集，使得交全为给出的点。

找出凸包。

根据皮克定理判断即可。

排列蛤蟆（hammer）

操作不影响逆序对个数。

猜测逆序对相同且 $(1,n)$ 相对位置相同的对可以两两转换。

推性质：若存在 $(a,n,b)$，若 $a<b$，则可转化成 $(b,a,n)$；否则有 $(n,b,a)$。

性质：存在 $\mathcal O(n^2)$ 次操作，使得操作后 $1$ 和 $n$ 在序列最右。

证明：

首先有 $1,n$ 的相对顺序不变。

假设 $1$ 在 $n$ 左，对于 $n$ 考虑，当其转向时，发现 $\min(a,b)$ 下降，则 $n^2$ 次操作后，$1,n$ 相邻，然后通过 $(1,n,a)$ 将 $n$ 交换到右侧。

再是 $1$ 在 $n$ 右，对于 $1$，当其转向时，$\max(a,b)$ 上升，则 $n^2$ 次操作后，$n,1$ 相邻，然后通过 $(n,1,a)$ 将 $1$ 交换到右侧。

证毕。

我们考虑将 $a,b$ 交换成等价类中的一个序列上，类似于双向搜索。

考虑对 $a,b$ 都按照一种顺序，要么同时将最小值换到最后，要么同时将最大值换到最后。

考虑将最小/最大同时换到最后，然后划分成 $n-1$ 的子问题。

若 $a,b$ 中 $1,n$ 的相对顺序不同，那么由 $a,b$ 有解可以推出 $a$ 或 $b$ 中 $1,n$ 的顺序可以交换（后面详细证。

假设当前是 $n$ 在 $1$ 左，要交换（$n$ 在 $1$ 右同理）。

先将 $1$ 换到最右。

再将 $n$ 换到次右（若 $n$ 在 $2$ 左，则递归计算子问题，即交换 $2,n$ 的顺序）。

此时假设有 $a,b,n,1,?$。

若 $a<b,?>n$，可操作；

若 $a<b，?<1$，可操作；

若 $a>b$，考虑利用前面的数得到 $a<b$：

• $c<b<a$，可操作；
• $b<c<a$，可操作；
• $c>a$，递归处理

发现若无法交换，则这整个子序列是完全逆序的，$a\ne b$ 就无解。

这样就做完了。

AT_joisc2017_d 切符の手配 (Arranging Tickets)

有点省选的味道了。

考虑先定向 $\min(a_i,b_i) \to \max(a_i,b_i)$。

再考虑翻转，当两个区间无交时，不能同时翻转。

则所有翻转区间交不为空，设为 $[l,r]$。

考虑二分答案 $lim$。

考虑枚举 $t\in [l,r]$，$b_i$ 为翻转后的计数，$z_i$ 表示含 $i$ 的翻转区间数。

则有 $b_i=a_i+(z_t-z_i)-z_i​$，根据 $b_i\le lim​$，有 $\lceil\frac{a_i+z_t-lim}{2}\rceil \le z_i\le z_t​$。

考虑贪心从前往后 $i\in[1,t]$ 满足条件，显然为了让 $[x+1,n]$ 满足条件，选择的区间右端点应尽量大。

于是从 $i$ 向右做扫描线，每次加入 $i$ 的可选端点，贪心选择可选区间中右端点最大的区间，取到下界即可，最后在判断 $[x+1,n]$ 是否合法，时间复杂度 $\mathcal O(n^3\log m\log V)$。

性质：在最优解中，设 $t$ 为 $\max_{i\in[l,r]} b_i$ 的下标，有 $|S|=0$ 或 $b_t \ge \max_{i=1}^{n} b_i-1$。

证明：若 $b_t \le \max_{i=1}^{n}b_i-2$。

• 若存在翻转区间 $[l,r]$，则再翻转 $[l,r]$，$b_t$ 加一，$\max_{i=1}^{n}b_i$ 减一，这种情况不可能是最优解，舍。
• 否则分别存在以 $l$ 为左端点和以 $r$ 为右端点的不同区间，都翻转，$b_t$ 加 $2$，$\max_{i=1}^{n}b_i$ 要么变成 $b_t$，要么不增，不断调整，若最后有 $|S|\le 2$，由于不存在区间 $[l,r]$，所以 $|S|=2$，继续删除，得到 $|S|=0$。

那么现在 $z_t$ 的枚举量是 $\mathcal O(1)$ 的。

性质：对于 $t$，同时有 $a_t=\max_{i=1}^{n}a_i$。

证明：设 $y \notin [l,r]$，且 $a_y-a_t \ge 1$，又由上有 $b_t-b_y \ge -1$，则 $a_y-b_y \ge a_t-b_t$，与假设矛盾。

那么现在 $a_t$ 的值域是 $\mathcal O(1)$。

性质：最优解包含所有的 $a_i$ 的最大值的位置。

证明：设 $[L,R]$ 分别表示 $a_i$ 的最大值的最左和最右位置，假设有 $L<l\le r < R$，则若存在将要翻转区间不包含 $L$，若翻转了就会变劣，$R$ 同理。

于是 $a_t$ 的枚举位置是 $\mathcal O(1)$ 的。

时间复杂度 $\mathcal O(n\log n\log V)$。

矩阵（matrix）

这不是gdkoi？

首先这东西有循环节，然后一个点被操作 $2^k$ 后只会产生一个十字（五个点）的影响。

找出循环节，倍增加速即可。

修公路（road）

相交的弦连边，每个连通块构造菊花图（很妙，。

可以线段树优化建图。

序列（sequence）

类似维护最大子段和搞一搞就好了，不写。

重振旗鼓（cheer）

显然有确定链端点时的 $\mathcal O(n\log V)$ 的做法。

考虑一叶子，先做一遍以它为端点的情况，此时他不再是端点，维护一个 $X$，表示已删叶子的 $\gcd$，将这个叶子删除，然后 $X\gets \gcd(X,a_u)$。

考虑优化，发现，当 $\gcd(X,a_u)=X$ 时，$a_u$ 直接删就行了，不需要做算法。

于是执行算法的次数是 $\mathcal O(\log V)$ 的，于是总时间复杂度 $\mathcal O(n\log^2 V)$。

惊鸿照影（memory）

二分答案，相当于求圆内交点个数，映射到圆上，就是个二位偏序问题。

明月来归（return）

离线，显然 $\mathcal O(n\sqrt m)$。

在线，随便维护。

女巫（witch）

好题。

赛时没想清楚关于求和在取第 $k$ 位的问题。

拆位，权值相当于前缀异或后 $1$ 的个数乘上 $0$ 的个数。

考虑维护虚树，显然，只会在每个子树内取一个点。

设 $f_u$ 表示以 $u$ 为根的虚树个数，$g_{u,0/1}$ 表示以 $u$ 为根的所有虚树从根往下一层异或和为 $0/1$ 的方案数，$h_u$ 表示答案。

考虑 $u$ 的儿子 $V$ 的合并，其中 $e(x,y,k)$ 表示 $dis_y-dis_x$ 第 $k$ 位的值。

$$f'_u\gets f_u\times (1+\sum_{v\in sub(V)}f_v)\\ g'_{u,0}\gets g_{u,0}\times(1+\sum_{v\in sub(V)}f_v)+f_u\times\sum_{v\in sub(V)}g_{v,e(u,v,k)}\\ g'_{u,1}\gets g_{u,1}\times(1+\sum_{v\in sub(V)}f_v)+f_u\times\sum_{v\in sub(V)}g_{v,e(u,v,k)\oplus 1}\\ h'_u\gets h_u\times(1+\sum_{v\in sub(V)}f_v)+g_{u,0}\times \sum_{v\in sub(V)} g_{v,e(u,v,k)\oplus 1}+g_{u,1}\times \sum_{v\in sub(V)} g_{v,e(u,v,k)}+f_u\times \sum_{v\in sub(V)}h_v$$

$a-b$ 第 $k$ 位为 $1$ 的 $b$ 在两端区间内。

考虑加速，线段树合并即可。

生成树（tree）

求边集 $E$ 的 MST，可以将 $E$ 分成若干子集，分别求 MST 得出边，再用这些边求 MST。

考虑点分治优化这个过程，容易发现，每个分治中心将将子树划分为若干个连通块，这一层分治中需要考虑的就是合并这些连通块；发现这个过程类似 boruvka，所以直接用 boruvka 求出合并这些连通块可能用到的边，然后在外层将这些可能用到的边进行一次 kruskal 即可做到 $\mathcal O(n\log^2n)$。

在一个分治中心，从根开始维护前缀和 $dis$，则要求使 $|dis_u+dis_v|$ 最小的 $v$。

将 $dis_u,-dis_u$ 放在一起排序，答案就是不同子树的前驱后继。

子树太多不好做。

考虑上边分治，就做完了。

字符串（string）

循环同构经典问题不讲。

找规律，只需要求 $a$，$b$ 内部的答案以及 $ab$，$ba$，$bb$ 跨过中间的答案。

系数可以矩乘维护。