3月记录

合集 - 做题记录(8)

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包含口胡题。

1.[ARC171C] Swap on Tree

条件一：边集合相等。

条件二：满足对于每个点连向的边，出现相对顺序都相同的操作序列得出的结果相等。

必要：若点不满足条件，则一定有点被交换到其他子树去了。

充分：

则只需考虑每个点的度数，背包即可。

2.[AGC065C] Avoid Half Sum

https://www.luogu.com.cn/paste/11m0lbjd

3.ARC058E

随便状压一下就好了。

4.ARC058F

考虑背包，记 $f_{i,j}$ 表示考虑前 $i$ 个串，取出长为 $j$ 的最小串。

由于涉及字典序比较，时间复杂度为 $\mathcal O(nk^2)$。

字典序比较不同于计算式比较，找到 $LCP$ 后第一位即可得出结果。

考虑仅保留能转移到 $f_{n,k}$ 的 $f_{i,j}$。

对于 $f_{i,j1},f_{i,j2}(j1<j2)$，若 $f_{i,j1}$ 不是 $f_{i,j2}$ 的前缀，则若前者小于后者，那么前者优于后者，否则后者优于前者。

这样对于 $f_{i,*}$，能推到答案的一定是 $f_{i,\max j}$ 的前缀，我们保留这个最长串即可做到空间 $\mathcal O(nk)$。

考虑 $f_{i,j}$ 仅由 $f_{i-1,j}$ 和 $f_{i-1,j-len}$ 得出，可以 $\mathcal O(\log n)$ 比较字典序得出大小关系。

时间复杂度 $\mathcal O(nk\log k)$，发现比较字典序的方式类似一个串与另一个串的某个后缀的 $LCP$，使用 $Z$ 算法，即可做到 $\mathcal O(nk)$。

5.ARC059F

操作序列相当于开始时可能存在并未删除成功的删除，然后中间存在 $m$ 个没删的字符，相当于零点，然后中间就是卡特兰数。

对于前面的，枚举断点写出转移式后，可以卷积转移。

6.ARC060F

当原串无循环节时，答案为 $1$。

当原串最小循环节为 $1$ 时，答案为 $n$。

否则答案为 $2$。

证明考虑 boarder 理论，将原串的第一位删除后得到的串不存在循环节。

于是枚举断点判断即可。

7.ARC061E

拆点直接做。

8.ARC061F

考虑到一种操作序列可以对应多种牌的方案，但是一种牌只能对应一种操作序列。

考虑枚举操作序列的长度，其中要求一种有 $n1$ 个 $1$，$2,3$ 的个数满足要求，且最后一个数为 $1$。

列出转移式子后对递推一个函数即可。

9.ARC062E

枚举上下表面后，即确定了八个角的颜色，哈希统计合法方案即可。

10.ARC155A

考虑到 $T$ 的形式如同：$SS'SS'...S'$，则可转化成 $k<2n$ 的情况。

讨论一下即可。

11.ARC155B

将绝对值拆成 $|x-a-b|$ 和 $|a-x-b|$，即讨论 $a,x$ 的大小关系。

发现由于 $b$ 非负，所以 $x-a$ 或 $a-x$ 小于 $0$ 的情况绝对不会成为最小值。

所以 set 维护 $a+b,a-b$ 的值，查询时查找一下即可。

12.ARC155C

操作可以执行：

• 只有一个偶数；

• 全是偶数；

若前者不存在，则奇数无法转移。

否则，可以将所有偶数移到前面排序，将奇数排序，偶数只有次数 $\ge 3$ 时才能排序。

由于操作可逆，对 $a,b$ 分别执行以上过程，判断是否相等即可。

13.ARC173A

数位 dp。

14.ARC173B

若存在一条直线，其上点数 $k \ge n-\lfloor\frac{n}{3}\rfloor +1$，则答案上界到 $k$。

若不存在，可归纳证明，答案为 $\lfloor\frac{n}{3}\rfloor$。

15.ARC173C

对于每个点，找到最左和最右与他大小关系相邻相同的点 $L,R$，若 $L\le l\le r \le R$，则必然满足，否则不行，对 $L-1,R+1$ 判断即可。

大小关系用 set 维护连续段即可。

16.ARC173D

首先只需要左括号和右括号相等即可，对这样的不合法括号序列循环移位一定能得到合法括号序列。

考虑是否存在环（非正常），左括号小于或大于后括号。

若存在小于和大于，此时一定可以，跑到它是随便操作一下。

若只有小于或只有大于，则无解，因为答案序列一定由若干环组成。

若不存在小于和大于，即全部等于，由于原图强联通性，一定存在包含某一条边的环，于是可以构造。

17.ARC063E

二分图染色判定奇偶不包含。

换根 dp 处理出每个点的取值范围。

随便取就好了。

18.ARC155D

设当前 gcd 为 $G$，则已取的数一定是 $G$ 的倍数。

考虑当前可以取剩下的 $G$ 的倍数的其中一个，使得 $G$ 不变，或者使 $G$ 变小。

考虑记录已操作次数，$f(G,S)$ 表示 gcd 为 $G$，已操作 $S$ 次的必胜必败态，则有效的只有 $S\le c_G$，$c_G$ 为 $G$ 的倍数个数。

容易枚举后继转移。

考虑优化，考虑使得 $G$ 变小的状态，若存在必败态，则先手走它最右；若全是必败态，则先手唯一的策略是不断取 $G$ 的倍数，将局面留给后手，（最后可能将局面留给后手后自己胜利，跟奇偶性有关）则我们只需记录已操作次数的奇偶性，当所有后继为负时，$f_{G,c_G \oplus 1}$ 为胜。

中途需要处理 $t_x$ 表示是否存在 $\gcd(a_j,G)=x$，莫反一下即可。

19.ARC063D

问题等价于找到周长最大的一个矩形，使得内部不存在任何点。

考虑到答案至少为 $2\times \max(H,W)$，所欲矩形一定经过 $x$ 的中线或 $y$ 的中线。

在此基础上分治，维护前后缀最小最大值，根据单调性进行双指针后求答案即可。

20.CF1809G

考虑满足条件的序列到 $i$ 时，一定对战的是前缀 max。

且对于满足条件的一个序列，删去最小值，也一定满足条件。

故值域倒序插入数，若当前数不放第一位，无影响。

否则，与他差值 $\le k$ 的数多了限制：不能放在他之后，于是直接计算这些数的方案数即可。

21.AGC017C

题目等价于值域为 $i$，有一条长为 $cnt_i$ 的绳子，所有绳子往左倒，恰好覆盖 $[1,n]$，需要操作次数就是未被覆盖数。

单点修改只会改变 $\mathcal O(1)$ 个点值。

22.CF1935F

考虑 |x-y| 最大为 $2$，且最多只有一条为 $2$ 的。

23.AT_arc174_e

枚举 LCP 后简单计算出分类前面有没有出现过的两类数的出现次数，倒序做一下。

24.P6658 边三连通分量

哈希。

25.QOJ 3047

对其中一棵树淀粉质，另一颗建立虚树，dp 一下即可。

26.Gym 102268D

27.NOI排位赛 #1 伙伴

对边考虑，一条边带来 $2$ 的贡献，二分图匹配一下，但是会有链的情况，有时需要拆开一个环加进去。

28.NOI排位赛 #1 帕鲁

考虑两种策略，一是不放，另一个是使得后面操作提前。

预处理从 $i$ 点开始，从段的开头/结尾开始，往后贪心放的方案。

发现前缀操作结束点只有 $\mathcal O(n)$ 种。

29.NOI排位赛 #1 自由落体（待补）

30.gym102870J

将前缀最大值部分切开考虑。

31.[ NOI --四十连测第二套 ]--T1--多边形

搜索，记录当前某一位是否确定，三进制数。

讨论所有操作，最多产生 $2$ 个分支，且 $2$ 个数减少 $2$。

32.[ NOI --四十连测第二套 ]--T2--倒水 （待补）

33.[ NOI --四十连测第二套 ]--T3--归并 （待补）

34.[ NOI --四十连测第三套 ]--T1--光晕

这题实在是太妙了。

考虑初始数组和最终数组的对应，是 $a\times 2^b \to a +b$。

显然取最优秀的 $a+b$ 且 $a$ 必然是奇数，故 $a+b=i$ 的数最多 $\lceil \frac{i}{2}\rceil$ 个。

二分可以得出和。

再证明存在一个前缀满足 $a_i=i$，且包含所有奇数。

然后就可以递归了，每一层最大奇数都可以简单计算出。

35.[ NOI --四十连测第三套 ]--T2--桃树

对于树剖序列的魔改，太nb了！！！！

36.[ NOI --四十连测第三套 ]--T3--雪白 （待补）

37.[ NOI --四十连测第四套 ]--T1--旋律是半透明的颜色 （待补）

38.[ NOI --四十连测第四套 ]--T2--即便星空和泪水开始转动 （待补）

39.[ NOI --四十连测第四套 ]--T3--我只是想轻轻地爱上这一切 （待补）

40.[ NOI --四十连测第五套 ]--T1--城市

答案跟 $y$ 无关，且四种操作下，只有两个会改变绝对值大小，故对这两种考虑，剩下的插入即可。

需要分而治之。

不越过两条直线的起点到终点方案数的 $\mathcal O(n\sqrt n)$ 做法。

41.[ NOI --四十连测第五套 ]--T2--庆典

有点套路的换跟，子树内虚树上两两 LCA 编号和的和，树问题。

42.[ NOI --四十连测第五套 ]--T3--石头 （待补）

43.CF1946F

扫描线，动态维护 dp，因为本质不同取值 $\log$ 段。

44.CF1942E

极端条件是每一段均为偶数。

45.CF1942F

操作期间可以下去整，且经过 $100$ 次之后答案增加量不超过 $1$，于是分块。

or, more simply, we have that

$a+b\le a+b+2\sqrt{ab}=(\sqrt a+\sqrt b)^2$

$\implies\sqrt{a+b}\le\sqrt a+\sqrt b$

$\implies \sqrt{a+b}-\sqrt b\le\sqrt a.$

Then $\sqrt{c+\sqrt{b+a}}-\sqrt{c+\sqrt b}\le\sqrt{\sqrt{b+a}-\sqrt b}\le\sqrt{\sqrt a}=\sqrt[4] a.$

This extends similarly for more nested radicals. Thus, increasing $a_i$ by $x<10^{18}<2^{64}$ will only affect $f(i+6)$ by at most $\sqrt[2^6] x =\sqrt[64] x<2,$ the desired result.

46.CF1942G

操作跟 $1$ 无关，根据队列的大小解决问题。

计算以 $i$ 结束的方案数，那么等价于具有 $5$ 个 ( 的合法括号序列。

简单计算即可。

47.LG U415120 https://www.luogu.com/article/ybti3sqj A

发现其中三段都是连续的，且定下了最大最小值，那么线段树维护最小值个数就行了。