这里主要讨论多元微分学中学到的高斯公式对于物理上的高斯定理的推导（目前是对于静电荷的高斯定理）。本身想连着Stokes公式一大堆一块写，但是考虑到工程量太大了，所以尝试分篇来写吧。
前置定理基础
标准的高斯公式的形式如下（推导略）
\[\iiint_{\Omega}(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z = \iint_{\partial \Omega}(P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y)
\]
其中 \(\Omega \subset R^3\) 为一有界区域， \(\partial \Omega\) 表示其定向封闭曲面外侧。当 \(\Omega\) 内任意点上式均有意义时公式成立。
将上式推广至向量形式，对于一微分的面积向量 \(\mathrm{d}\vec{S}\) 有 \(\mathrm{d}\vec{S}=(\mathrm{d}y\mathrm{d}z,\mathrm{d}z\mathrm{d}x,\mathrm{d}x\mathrm{d}y)\)
取向量 \(\vec{F}=(P,Q,R)\) 那么有
\[\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{S} = (P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y)\\
\nabla \cdot \vec{F} = (\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})
\]
所以高斯公式还可以写为
\[\int_{\partial \Omega}\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{\sigma} = \int_{\Omega}\nabla\cdot\vec{F}\mathrm{d}\vec{\mu}
\]
其中 \(\sigma , \mu\) 分别表示面积微元和体积微元。
除此之外还需要点电荷场强公式 \(\vec{E} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^3}\vec{r}\)
证明过程
由电场叠加定理，我们可以把复杂的电荷分布情况化简为单一点电荷的情况。假设该点电荷的电荷量为 \(q\) ，位置在 \((a,b,c)\) ，那么可以写出任意高斯面的电通量为
\[\Phi_{\partial D} = \int_{\partial D}\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}\\
=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\int_{\partial D}\frac{\vec{r}}{r^3}\cdot\mathrm{d}\vec{S}
\]
取 \(\vec{F} = \frac{\vec{r}}{r^3}\) ，有
\[\vec{F} = \frac{(x-a,y-b,z-c)}{[(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2]^{\frac{3}{2}}}
\]
代入前置准备的高斯公式，可得
\[\begin{aligned}
\int_{\partial D}\frac{\vec{r}}{r^3}\cdot\mathrm{d}\vec{S} &= \int_{D}\nabla\cdot\vec{F}\mathrm{d}\vec{V}\\
&=\int_D(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z})\mathrm{d}\vec{V}\\
&=\int_D(\frac{1}{r^3}-\frac{3(x-a)^2}{r^5}+\frac{1}{r^3}-\frac{3(y-b)^2}{r^5}+\frac{1}{r^3}-\frac{3(z-c)^2}{r^5})\mathrm{d}\vec{V}\\
&=0
\end{aligned}
\]
但这是不对的。因为如果 \((a,b,c)\in D\) ，那么在点 \((a,b,c)\)处该式子是无意义的，不能应用高斯公式。按照与格林公式遇到相似问题时的类似处理方式，可以将 \((a,b,c)\)周围的一小部分挖去，分别求两面之间的积分和挖去面的积分再求差即可。
那么根据上式，当点电荷不在高斯面内部时，高斯面的电通量为0。点电荷在高斯面内部时，高斯面的电通量与高斯面形状无关。
现在特殊地取一半径为 \(r_0\) ，球心为点电荷位置的球面为高斯面。由于球面处处电场方向与面积微元方向相同，向量内积可退化为标量乘法。于是可得
\[\begin{aligned}
\Phi_{\partial D} &= \int_{\partial D}\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}\\
&=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\int_{\partial D}\frac{\vec{r}}{r_0^3}\cdot\mathrm{d}\vec{S}\\
&=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\int_{\partial D}\frac{1}{r_0^2}\mathrm{d}S\\
&=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\cdot 4\pi r_0^2 \cdot \frac{1}{r_0^2}\\
&=\frac{q}{\varepsilon_0}
\end{aligned}
\]
因此单个点电荷对于任意高斯面产生的电通量为
\[\Phi_{\partial D} =
\begin{cases}
\frac{q}{\varepsilon_0}, & \text{if}\;(a,b,c) \in D\\
0, & \text{else}
\end{cases}
\]
根据电场叠加定理，对于多个点电荷的情况就有
\[\Phi_{\partial D}=\sum \Phi_{i\partial D} =\frac{1}{\varepsilon_0} \sum_{(a_i,b_i,c_i)\in D}q_i
\]
推广到连续电荷有
\[\Phi_{\partial D}=\frac{1}{\varepsilon_0}\int_D\rho\mathrm{d}V
\]
改写为高斯定理的标准形式为
\[\Phi_E = \oint \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\frac{1}{\varepsilon_0}\sum_{S内} q_i = \frac{1}{\varepsilon_0}\int \rho \mathrm{d}V
\]
参考资料
除参考PPT外，在推导以及实际编写过程中还参考了以下文章：
