UVA-11625-Nice Prefixes (DP+矩阵快速幂)

题目(vjudge)

题面

题意:

　　你有K个字母，你需要用K个字母组成L长度的字符串，定义对于该字符串的任意前缀P 必须满足    ，输出方案数%1000000007的值。

思路:

　　首先可以想到一种简单的dp方程  dp [ len ] [ a ]  [b ]  表示当前字符串长度为len  个数为最多的字母有 a个  个数次多的有b个  (那么个数最少的有k-a-b个)状态数有 100*100，没办法矩阵快速幂加速dp.

　　考虑对于某个固定长度 len  如果确定 a，容易发现 b = (len % K - a)，  发现dp方程可以转化成 dp[ len ] [ a ] 但是依旧不能矩阵快速幂 ，因为对于len-1到len的 每个状态 a 的转移方程的系数与 len%K 相关，

于是稍微转换一下方程  由 len-K 转移到 len  (每次放K个字符 ),这时候容易发现 转移方程的系数也不在改变了 于是我们先预处理放K步的dp方程的系数矩阵 然后转移L/K次 （利用矩阵快速幂加速)，最后剩下L%K步暴力dp就好了

(参考了别人的题解)

代码:

#include <stdio.h>
#include <bits/stdc++.h>
#define IV inline void
typedef unsigned long long ull;
using namespace std;
const int mod = 1e9+7;
ull dp[110][110][110],B[110][110],A[110][110],C[110][110];
int K,t;
IV DP(int L)
{
    for (int len=1;len<=L;len++){
        for (int i=0;i<K;i++){
            for (int j=1;j<=K;j++){
                int w=3*K+len-1;
                int l2=w-2*(j-1);
                while (l2+(j-1)>K)l2-=K;
                if (l2>=0)dp[len][i][j%K]+=dp[len-1][i][j-1]*(l2);
                if (j==1&&l2>=0)dp[len][i][j%K]+=dp[len-1][i][l2]*(l2);
                l2=w-2*j;
                while (l2+j>K)l2-=K;
                int l3=K-j-l2;
                if (l2>=0&&l3>=0)dp[len][i][j%K]+=dp[len-1][i][j%K]*(l3);
                dp[len][i][j%K]%=mod;
            }
        }
    }
}
IV init()
{
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    memset(B,0,sizeof(B));
    B[0][0]=1;
    for (int i=0;i<K;i++)dp[0][i][i]=1;
    DP(K);
    for (int i=0;i<K;i++)for (int j=0;j<K;j++)A[i][j]=dp[K][i][j];
}
IV mul(ull A[][110],ull B[][110])
{
    memset(C,0,sizeof(C));
    for (int i=0;i<K;i++)
        for (int j=0;j<K;j++)
            for (int k=0;k<K;k++)
                C[i][k]=(C[i][k]+A[i][j]*B[j][k])%mod;
    memcpy(A,C,sizeof(C));
}
IV pow(long long n)
{
    while (n){
        if (n&1)mul(B,A);
        mul(A,A);
        n>>=1;
    }
}
int main()
{
    long long n,ans;
    scanf("%d",&t);
    while (t--&&~scanf("%lld%d",&n,&K)){
        ans=0;
        init();
        pow(n/K);
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        for (int i=0;i<K;i++)
            for (int j=0;j<K;j++)
                dp[0][i][j]=B[i][j];
        DP(n%K);
        int L=n%K;
        for (int j=0;j<K;j++)ans+=dp[L][0][j];
        printf("%lld\n",ans%mod);
    }
    return 0;
}