图数据挖掘:基于概率的流行病模型
1 导引
在上一篇博客《图数据挖掘:网络中的级联行为》中介绍了用基于决策的模型来对级联行为进行建模,该模型是基于效用(Utility)的且是是确定性的,主要关注于单个节点如何根据其邻居的情况来做决策,需要大量和数据相关的先验信息。这篇博客就让我们来介绍基于概率的传播模型,这种模型基于对数据的观测来构建,不过不能对因果性进行建模。
2 基于随机树的流行病模型
接下来我们介绍一种基于随机树的传染病模型,它是分支过程(branching processes)的一种变种。在这种模型中,一个病人可能接触个其他人,对他们中的每一个都有概率将其传染,如下图所示:

接下来我们来看当和取何值时,流行病最终会消失(die out),也即满足
这里为在深度处存在感染节点的概率(是关于和的函数)。如果流行病会永远流行下去,则上述极限应该。
满足递归式:
这里表示在距离根节点深度处没有感染节点的概率。
接下来我们通过对函数
进行迭代来得到。我们从根节点(因为)开始,依次迭代得到。事实上,该迭代最终会收敛到不动点,如下图所示:
不动点.png)
这里是在深度处存在感染节点的概率,是在深度为处存在感染节点的概率,为感染概率,为节点的度。
如果我们想要传染病最终消失,那么迭代的结果必须要趋向于,也即不动点需要为0。而这也就意味着必须要在下方,如下所示:

如何控制必须要在下方呢?我们先来分析下的图像形状,我们有以下结论:
是单调的:对,,故是单调的。
是非增的:会着减小而减小。
而低于,则需要满足
综上所述,我们有结论:
这里表示每个被感染的个体在期望意义上所产生的新的病体数,我们将其称为基本再生数(reproductive number),它决定了传染病病是否会流行:
- 若: 流行病永远不会消失且感染人数会以指数速度上升。
- 若: 流行病会以指数速度快速消失。
3 SIR与SIS流行病模型
3.1 模型范式
在病毒的传播中,有两个最基本的参数:
- 出生率 被已感染邻居攻击的概率
- 死亡率 已感染节点治愈的概率

网络中的节点可以在以下四个状态(S+E+I+R)之间做转移:
- 易感期(susceptible): 节点患病之前,处于容易被邻居传染的时期,也称敏感期。
- 潜伏期(exposed):节点已被感染,但是还没具备能力去传染别人。
- 传染期(infectious):节点已被感染,且能够以一定的概率把疾病传染给那些处于易感期的邻居,也称感染期。
- 移除期(removed):当一个节点经历了完整的传染期,就不再被考虑了,因为它不会再受感染,也不会对其它节点构成威胁,也称隔离期。
状态转移图如下图所示(图中的表示人工免疫):

其中状态转移的概率由我们前面提到的模型参数和控制。
3.2 SIR模型
在SIR模型中,节点经历S-I-R三个阶段:
事实上,该模型可用于对水痘和鼠疫的建模,也即一旦我治愈了,那我就永远不会再被感染了。
假设模型满足完美混合(即网络是完全图),则模型的动力方程为:
处于、、状态的节点数量随着时间变化曲线如下图所示:
3.3 SIS模型
SIS模型中节点只有S-I两个阶段,它假设已经治愈的节点会立即变为易感节点。节点的状态转移图如下:

这里我们把定义为病毒的“力量”(strength)。
该模型可用于对流感的建模,也即已被感染的节点经过治愈后会重新回到易感状态。
同样我们假设模型满足完美混合(即网络是完全图),则模型的动力方程为:
处于、状态的节点数量随着时间变化曲线如下图所示:
3.4 传染阈值
接下来我们考虑SIS模型中的传染阈值(epidemic threshold)。对于模型而言,流行阈值可以是任意的。
我们设图的传染阈值为。如果病毒的“力量”(这里指病毒的死亡率,指病毒的出生率),则疾病的流行就不会发生(它最终会消失)。事实上,图的传染阈值可以表示为
这里为图的邻接矩阵最大的特征值。这个定理看起来非常神奇,因为我们只用就捕捉到了整个图的属性!
以下是在AS图上,当大于、小于或等于传染阈值时的感染节点数量随时间变化图:

如果我们再考虑不同的初始感染人数,则会得到以下的感染人数变化图像:

3.5 一个埃博拉的例子
在一个埃博拉的例子[1]中,设置如下的转换状态:
当设置时,总死亡人数随时间变化如下:

参考
[1] Gomes M F C, y Piontti A P, Rossi L, et al. Assessing the international spreading risk associated with the 2014 West African Ebola outbreak[J]. PLoS currents, 2014, 6.
[2] http://web.stanford.edu/class/cs224w/
[3] Easley D, Kleinberg J. Networks, crowds, and markets: Reasoning about a highly connected world[M]. Cambridge university press, 2010.
[4] Barabási A L. Network science[J]. Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 2013, 371(1987): 20120375.
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