图数据挖掘：基于概率的流行病模型

1 导引

在上一篇博客《图数据挖掘：网络中的级联行为》中介绍了用基于决策的模型来对级联行为进行建模，该模型是基于效用(Utility)的且是是确定性的，主要关注于单个节点如何根据其邻居的情况来做决策，需要大量和数据相关的先验信息。这篇博客就让我们来介绍基于概率的传播模型，这种模型基于对数据的观测来构建，不过不能对因果性进行建模。

2 基于随机树的流行病模型

接下来我们介绍一种基于随机树的传染病模型，它是分支过程（branching processes）的一种变种。在这种模型中，一个病人可能接触\(d\)个其他人，对他们中的每一个都有概率\(q>0\)将其传染，如下图所示：

接下来我们来看当\(d\)和\(q\)取何值时，流行病最终会消失（die out），也即满足

\[\lim _{h \rightarrow \infty} p_h=0 \]

这里\(p_h\)为在深度\(h\)处存在感染节点的概率（是关于\(q\)和\(d\)的函数）。如果流行病会永远流行下去，则上述极限应该\(>0\)。

\(p_h\)满足递归式：

\[p_h=1-\left(1-q \cdot p_{h-1}\right)^d \]

这里\(\left(1-q \cdot p_{h-1}\right)^d\)表示在距离根节点\(h\)深度处没有感染节点的概率。

接下来我们通过对函数

\[f(x)=1-(1-q \cdot x)^d \]

进行迭代来得到\(\lim _{h \rightarrow \infty} p_h\)。我们从根节点\(x=1\)(因为\(p_1=1\))开始，依次迭代得到\(x_1=f(1), x_2=f(x_1),x_3=f(x_2)\)。事实上，该迭代最终会收敛到不动点\(f(x)=x\)，如下图所示：

这里\(x\)是在深度\(h-1\)处存在感染节点的概率，\(f(x)\)是在深度为\(h\)处存在感染节点的概率，\(q\)为感染概率，\(d\)为节点的度。
如果我们想要传染病最终消失，那么迭代\(f(x)\)的结果必须要趋向于\(0\)，也即不动点需要为0。而这也就意味着\(f(x)\)必须要在\(y=x\)下方，如下所示：

如何控制\(f(x)\)必须要在\(y=x\)下方呢？我们先来分析下\(f(x)\)的图像形状，我们有以下结论：

\(f(x)\)是单调的：对\(0 \leq x, q \leq 1, d>1\)，\(f'(x)=q \cdot d(1-q x)^{d-1}>0\)，故\(f(x)\)是单调的。

\(f'(x)\)是非增的：\(f'(x)=q \cdot d(1-q x)^{d-1}\)会着\(x\)减小而减小。

而\(f(x)\)低于\(y=x\)，则需要满足

\[f'(0)=q\cdot d<1 \]

综上所述，我们有结论：

\[\lim _{h \rightarrow \infty} p_h=0 \text { when } q \cdot d<\mathbf{1} \]

这里\(R_0=q\cdot d\)表示每个被感染的个体在期望意义上所产生的新的病体数，我们将其称为基本再生数（reproductive number），它决定了传染病病是否会流行：

• 若\(R_0\geq 1\): 流行病永远不会消失且感染人数会以指数速度上升。
• 若\(R_0\leq 1\): 流行病会以指数速度快速消失。

3 SIR与SIS流行病模型

3.1 模型范式

在病毒的传播中，有两个最基本的参数：

• 出生率\(\beta\) 被已感染邻居攻击的概率
• 死亡率\(\delta\) 已感染节点治愈的概率

网络中的节点可以在以下四个状态（S+E+I+R）之间做转移：

• 易感期(susceptible)： 节点患病之前，处于容易被邻居传染的时期，也称敏感期。
• 潜伏期(exposed)：节点已被感染，但是还没具备能力去传染别人。
• 传染期(infectious)：节点已被感染，且能够以一定的概率把疾病传染给那些处于易感期的邻居，也称感染期。
• 移除期(removed)：当一个节点经历了完整的传染期，就不再被考虑了，因为它不会再受感染，也不会对其它节点构成威胁，也称隔离期。

状态转移图如下图所示（图中的\(Z\)表示人工免疫）：

其中状态转移的概率由我们前面提到的模型参数\(\beta\)和\(\delta\)控制。

3.2 SIR模型

在SIR模型中，节点经历S-I-R三个阶段：

事实上，该模型可用于对水痘和鼠疫的建模，也即一旦我治愈了，那我就永远不会再被感染了。

假设模型满足完美混合（即网络是完全图），则模型的动力方程为：

\[\begin{aligned} &\frac{d S}{d t}=-\beta S I \\ &\frac{d R}{d t}=\delta I \\ &\frac{d I}{d t}=\beta S I-\delta I \end{aligned} \]

处于\(S\)、\(I\)、\(R\)状态的节点数量随着时间变化曲线如下图所示：

3.3 SIS模型

SIS模型中节点只有S-I两个阶段，它假设已经治愈的节点会立即变为易感节点。节点的状态转移图如下：

这里我们把\(s=\frac{\beta}{\delta}\)定义为病毒的“力量”（strength）。

该模型可用于对流感的建模，也即已被感染的节点经过治愈后会重新回到易感状态。

同样我们假设模型满足完美混合（即网络是完全图），则模型的动力方程为：

\[\begin{aligned} &\frac{d S}{d t}=-\beta S I+\delta I \\ &\frac{d I}{d t}=\beta S I-\delta I \end{aligned} \]

处于\(S\)、\(I\)状态的节点数量随着时间变化曲线如下图所示：

3.4 传染阈值

接下来我们考虑SIS模型中的传染阈值(epidemic threshold)\(\tau\)。对于\(SIS\)模型而言，流行阈值可以是任意的。

我们设图\(G\)的传染阈值为\(\tau\)。如果病毒的“力量”\(s=\frac{\beta}{\delta} < \tau\)（这里\(\beta\)指病毒的死亡率，\(\delta\)指病毒的出生率），则疾病的流行就不会发生（它最终会消失）。事实上，图\(G\)的传染阈值\(\tau\)可以表示为

\[\tau=\frac{1}{\lambda_{1, A}} \]

这里\(\lambda_{1, A}\)为图\(G\)的邻接矩阵最大的特征值。这个定理看起来非常神奇，因为我们只用\(\lambda_{1,A}\)就捕捉到了整个图的属性！

以下是在AS图上，当\(s\)大于、小于或等于传染阈值\(\tau\)时的感染节点数量随时间变化图：

如果我们再考虑不同的初始感染人数，则会得到以下的感染人数变化图像：

3.5 一个埃博拉的例子

在一个埃博拉的例子^[1]中，设置如下的转换状态：

当设置\(R_0=1.5\text{-}2.0\)时，总死亡人数随时间变化如下：

参考

[1] Gomes M F C, y Piontti A P, Rossi L, et al. Assessing the international spreading risk associated with the 2014 West African Ebola outbreak[J]. PLoS currents, 2014, 6.
[2] http://web.stanford.edu/class/cs224w/
[3] Easley D, Kleinberg J. Networks, crowds, and markets: Reasoning about a highly connected world[M]. Cambridge university press, 2010.
[4] Barabási A L. Network science[J]. Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 2013, 371(1987): 20120375.