图数据挖掘:基于概率的流行病模型

1 导引

在上一篇博客《图数据挖掘:网络中的级联行为》中介绍了用基于决策的模型来对级联行为进行建模,该模型是基于效用(Utility)的且是是确定性的,主要关注于单个节点如何根据其邻居的情况来做决策,需要大量和数据相关的先验信息。这篇博客就让我们来介绍基于概率的传播模型,这种模型基于对数据的观测来构建,不过不能对因果性进行建模。

2 基于随机树的流行病模型

接下来我们介绍一种基于随机树的传染病模型,它是分支过程(branching processes)的一种变种。在这种模型中,一个病人可能接触d个其他人,对他们中的每一个都有概率q>0将其传染,如下图所示:

迁移学习和多任务学习之间的区别

接下来我们来看当dq取何值时,流行病最终会消失(die out),也即满足

limhph=0

这里ph为在深度h处存在感染节点的概率(是关于qd的函数)。如果流行病会永远流行下去,则上述极限应该>0

ph满足递归式:

ph=1(1qph1)d

这里(1qph1)d表示在距离根节点h深度处没有感染节点的概率。

接下来我们通过对函数

f(x)=1(1qx)d

进行迭代来得到limhph。我们从根节点x=1(因为p1=1)开始,依次迭代得到x1=f(1),x2=f(x1),x3=f(x2)。事实上,该迭代最终会收敛到不动点f(x)=x,如下图所示:

迁移学习和多任务学习之间的区别

这里x是在深度h1处存在感染节点的概率,f(x)是在深度为h处存在感染节点的概率,q为感染概率,d为节点的度。
如果我们想要传染病最终消失,那么迭代f(x)的结果必须要趋向于0,也即不动点需要为0。而这也就意味着f(x)必须要在y=x下方,如下所示:

迁移学习和多任务学习之间的区别

如何控制f(x)必须要在y=x下方呢?我们先来分析下f(x)的图像形状,我们有以下结论:

f(x)是单调的:对0x,q1,d>1f(x)=qd(1qx)d1>0,故f(x)是单调的。

f(x)是非增的f(x)=qd(1qx)d1会着x减小而减小。

f(x)低于y=x,则需要满足

f(0)=qd<1

综上所述,我们有结论:

limhph=0 when qd<1

这里R0=qd表示每个被感染的个体在期望意义上所产生的新的病体数,我们将其称为基本再生数(reproductive number),它决定了传染病病是否会流行:

  • R01: 流行病永远不会消失且感染人数会以指数速度上升。
  • R01: 流行病会以指数速度快速消失。

3 SIR与SIS流行病模型

3.1 模型范式

在病毒的传播中,有两个最基本的参数:

  • 出生率β 被已感染邻居攻击的概率
  • 死亡率δ 已感染节点治愈的概率
迁移学习和多任务学习之间的区别

网络中的节点可以在以下四个状态(S+E+I+R)之间做转移:

  • 易感期(susceptible): 节点患病之前,处于容易被邻居传染的时期,也称敏感期。
  • 潜伏期(exposed):节点已被感染,但是还没具备能力去传染别人。
  • 传染期(infectious):节点已被感染,且能够以一定的概率把疾病传染给那些处于易感期的邻居,也称感染期。
  • 移除期(removed):当一个节点经历了完整的传染期,就不再被考虑了,因为它不会再受感染,也不会对其它节点构成威胁,也称隔离期。

状态转移图如下图所示(图中的Z表示人工免疫):

迁移学习和多任务学习之间的区别

其中状态转移的概率由我们前面提到的模型参数βδ控制。

3.2 SIR模型

在SIR模型中,节点经历S-I-R三个阶段:
迁移学习和多任务学习之间的区别
事实上,该模型可用于对水痘和鼠疫的建模,也即一旦我治愈了,那我就永远不会再被感染了。

假设模型满足完美混合(即网络是完全图),则模型的动力方程为:

dSdt=βSIdRdt=δIdIdt=βSIδI

处于SIR状态的节点数量随着时间变化曲线如下图所示:
迁移学习和多任务学习之间的区别

3.3 SIS模型

SIS模型中节点只有S-I两个阶段,它假设已经治愈的节点会立即变为易感节点。节点的状态转移图如下:

迁移学习和多任务学习之间的区别

这里我们把s=βδ定义为病毒的“力量”(strength)。

该模型可用于对流感的建模,也即已被感染的节点经过治愈后会重新回到易感状态。

同样我们假设模型满足完美混合(即网络是完全图),则模型的动力方程为:

dSdt=βSI+δIdIdt=βSIδI

处于SI状态的节点数量随着时间变化曲线如下图所示:
迁移学习和多任务学习之间的区别

3.4 传染阈值

接下来我们考虑SIS模型中的传染阈值(epidemic threshold)τ。对于SIS模型而言,流行阈值可以是任意的。

我们设图G的传染阈值为τ。如果病毒的“力量”s=βδ<τ(这里β指病毒的死亡率,δ指病毒的出生率),则疾病的流行就不会发生(它最终会消失)。事实上,图G的传染阈值τ可以表示为

τ=1λ1,A

这里λ1,A为图G的邻接矩阵最大的特征值。这个定理看起来非常神奇,因为我们只用λ1,A就捕捉到了整个图的属性!

以下是在AS图上,当s大于、小于或等于传染阈值τ时的感染节点数量随时间变化图:

迁移学习和多任务学习之间的区别

如果我们再考虑不同的初始感染人数,则会得到以下的感染人数变化图像:

迁移学习和多任务学习之间的区别

3.5 一个埃博拉的例子

在一个埃博拉的例子[1]中,设置如下的转换状态:
迁移学习和多任务学习之间的区别

当设置R0=1.5-2.0时,总死亡人数随时间变化如下:

迁移学习和多任务学习之间的区别

参考

[1] Gomes M F C, y Piontti A P, Rossi L, et al. Assessing the international spreading risk associated with the 2014 West African Ebola outbreak[J]. PLoS currents, 2014, 6.
[2] http://web.stanford.edu/class/cs224w/
[3] Easley D, Kleinberg J. Networks, crowds, and markets: Reasoning about a highly connected world[M]. Cambridge university press, 2010.
[4] Barabási A L. Network science[J]. Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 2013, 371(1987): 20120375.

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