组合数学:Burnside引理和Polya定理解决染色置换问题
例题
给3x3的格子上色,4种颜色,可以重复。排除旋转后相同的情况,请问有多少种不同的上色方法?
解答
设格子编号如下:
| 1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 |
| 7 | 8 | 9 |
每种旋转是为一种置换,定义为\(g_i\),共4种置换:
\[g_1 = <旋转0° > \\
g_2 = <旋转90° > \\
g_3 = <旋转180° > \\
g_4 = <旋转270° >
\]
\(D(g_i)\)表示在\(g_i\)这种置换的作用下没有改变状态的方案集合,\(|D(g_i)|\)表示其元素个数。以下分情况讨论:
- 旋转\(0°\)
旋转0°怎么都不会变, 计算随便涂的总数即可:
\[|D(g_1)| = 4^9
\]
-
旋转\(90°\)
{1、3、7、9}循环变换,{2、4、6、8}循环变换, {5}永远不变,置换群为(1379)(2468)(5),(1379)可取4种颜色,(2468)可以取4种颜色, (5)可以取4种颜色,总方案数:
\[|D(g_2)| = 4^3
\]
-
旋转\(180°\)
置换群为(19)(28)(37)(46)(5),总方案数:
\[|D(g_3)| = 4^5
\]
-
旋转\(270°\)
类似旋转90°,总方案数:
\[|D(g_4)| = 4^3
\]
根据Burnside引理,设\(G\)为所有置换的集合,总方案数:
\[L=\frac{1}{|G|} \sum_{\mathrm{i}=1}^{|G|}\left|D\left(g_{i}\right)\right| = \frac{1}{4}(4^9+4^3+4^5+4^3)=65824
\]
或直接用Polya定理,设\(m\)种颜色给\(n\)个对象染色,\(C_i\)为每种置换下的循环节,则有:
\[L=\frac{1}{|G|}\left[m^{C_{1}}+m^{C_{2}}+\cdots+m^{C_{g-1}}+m^{C_{g}}\right] = \frac{1}{4}(4^9+4^3+4^5+4^3)=65824
\]
数学是符号的艺术,音乐是上界的语言。