组合数学:Burnside引理和Polya定理解决染色置换问题
例题
给3x3的格子上色,4种颜色,可以重复。排除旋转后相同的情况,请问有多少种不同的上色方法?
解答
设格子编号如下:
| 1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 |
| 7 | 8 | 9 |
每种旋转是为一种置换,定义为,共4种置换:
表示在这种置换的作用下没有改变状态的方案集合,表示其元素个数。以下分情况讨论:
- 旋转
旋转0°怎么都不会变, 计算随便涂的总数即可:
-
旋转
{1、3、7、9}循环变换,{2、4、6、8}循环变换, {5}永远不变,置换群为(1379)(2468)(5),(1379)可取4种颜色,(2468)可以取4种颜色, (5)可以取4种颜色,总方案数:
-
旋转
置换群为(19)(28)(37)(46)(5),总方案数:
-
旋转
类似旋转90°,总方案数:
根据Burnside引理,设为所有置换的集合,总方案数:
或直接用Polya定理,设种颜色给个对象染色,为每种置换下的循环节,则有:
数学是符号的艺术,音乐是上界的语言。
【推荐】编程新体验,更懂你的AI,立即体验豆包MarsCode编程助手
【推荐】凌霞软件回馈社区,博客园 & 1Panel & Halo 联合会员上线
【推荐】抖音旗下AI助手豆包,你的智能百科全书,全免费不限次数
【推荐】博客园社区专享云产品让利特惠,阿里云新客6.5折上折
【推荐】轻量又高性能的 SSH 工具 IShell:AI 加持,快人一步
· DeepSeek “源神”启动!「GitHub 热点速览」
· 我与微信审核的“相爱相杀”看个人小程序副业
· 微软正式发布.NET 10 Preview 1:开启下一代开发框架新篇章
· C# 集成 DeepSeek 模型实现 AI 私有化(本地部署与 API 调用教程)
· spring官宣接入deepseek,真的太香了~