分布式多任务学习：去偏Lasso实现高效通信

1 难点：如何实现高效的通信

我们考虑下列的多任务优化问题：

\[ \underset{\textbf{W}}{\min} \sum_{k=1}^{K} [\frac{1}{n_k}\sum_{i=1}^{n_k}L(y_{ki}, \langle \bm{w}_k, \bm{x}_{ki} \rangle)]+\lambda \text{pen}(\textbf{W}) \tag{1} \]

这里\(\text{pen}(\mathbf{W})\)是一个用于增强group sparse的正则项（参见联合特征学习（joint feature learning），常为\(l_1/l_2\)、\(l_1/l_{\infin}\)范数的组合，用于只保留对所有任务有用的特征）。比如。在group lasso penalty^[1][2] 中使用 \(\text{pen}(\mathbf{W}) =\sum_{k=1}^K||\bm{w}_k||_2 = \sum_{k=1}^K (\sum_{j=1}^d{w}_{jk}^2 )^{1/2}\)（这里\(d\)为特征维度，\(K\)为任务数,\(\bm{w}_k\)为\(\mathbf{W}\)的第\(k\)列）; \(\text{iCAP}\)使用\(\text{pen}(\mathbf{W}) = ||\mathbf{W}||_{\infin, 1} = \sum_{j=1}^d||\bm{w}^j||_{\infin}= \sum_{j=1}^d\underset{1\leqslant k \leqslant K}{\text{max}}|w_{jk}|\) ^[3][4](这里\(\bm{w}^j\)是指\(\mathbf{W}\)的第\(j\)行。注意区分这个和矩阵的\(\infin\)范数，求和与求最大的顺序是不一样的!这里相当于求向量的无穷范数之和)，等等。

在分布式的环境中，我们可以按照文章《分布式多任务学习：同步和异步优化算法》提到的基于近端梯度的同步/异步优化算法来优化问题\((1)\)，但是正如我们在该篇博客中所说的，这种方法需要多轮的通信，时间开销较大。这样，如何实现机器间的有效通信是我们必须要想办法解决该问题。

现在的热点解决方案是采用去中心化(decentralize)的思想，即使任务节点绕过主节点，直接利用相邻任务节点的信息，这样可以大大降低通信量^[5][6][7]。这种方法我们未来会着重介绍，此时按下不表。

当然，读者可能会思考，我们可以不可以直接每个任务各自优化各的\(l_1\)正则目标函数，即每个任务直接采用近端梯度法求解下列的local lasso问题：

\[ \hat{\textbf{w}}_k = \underset{\textbf{w}_k}{\text{argmin}}\frac{1}{n_k}\sum_{i=1}^{n_k}L(y_{ki}, \langle \textbf{w}_k, \textbf{x}_{ki} \rangle)+\lambda_k ||\textbf{w}_k||_{1} \tag{2} \]

很遗憾，这种方法虽然做到了不同任务优化的解耦，但本质上变成了单任务学习，没有充分利用好多任务之间的联系（任务之间的练习须依靠group sparse正则项\(\text{pen}(\textbf{W})\)来实现）。那么，有没有即能够减少通信次数，又能够保存group regularization的基本作用呢？（暂时不考虑任务节点相互通信的去中心化的方法）

2 基于去偏Lasso模型的分布式算法

论文《distributed multitask learning》^[8]提出的算法介于传统的分布式近端梯度法和local lasso之间，其计算只需要一轮通信，但仍然保证了使用group regularization所带来的统计学效益。 该论文提出的算法描述如下：

这里我们特别说明一下第4行的操作,\(m_k^{-1}\mathbf{X}_k^T(\bm{y}_k - \mathbf{X}_k\hat{\bm{w}}_k)\)
是损失函数的次梯度；矩阵\(\textbf{M}_k\in \mathbb{R}^{d \times d}\)是Hessian矩阵的近似逆，\(m_k\)是任务\(k\)对应的样本个数(事实上原论文假定\(m_1=m_2=...=m_K\))；节点\(k\)对应的训练数据是\((\mathbf{X}_k, \bm{y}_k)\)。

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这种求去偏lasso估计量的方法由最近关于高维统计^[9][10][11]的文章提出，这些论文都企图去除引入算法第3行所示的\(l_1\)正则项所导致的偏差(bias)，具体方法是运用\(l_1\)正则损失函数关于\(\bm{w}_k\)的次梯度来构造得到参数成分的无偏估计量\(\hat{\bm{w}}^u_k\)。下面我们会参照去偏估计器的采样分布，但我们的最终目标不同。^[9][10][11]这三篇论文构造矩阵\(\mathbf{M}\)的方法不同，本篇论文主要参照论文^[11]的方法，复合假设。每个机器使用矩阵\(\mathbf{M}_k=(\hat{\bm{m}}_{kj})_{j=1}^d\)，它的行是：

\[\begin{aligned} & \hat{\bm{m}}_{kj} = \underset{\bm{m}_j \in \mathbb{R}^d}{\text{argmin}} \quad \bm{m}_j^T\hat{\mathbf{\Sigma}_k}\bm{m}_j \\ & \text{s.t.} \quad ||\hat{\mathbf{\Sigma}}_k\bm{m}_j - \bm{e}_j ||_{\infin} \leqslant \mu. \end{aligned} \tag{3} \]

这里\(\bm{e}_j\)是第\(j\)个元素为1其他元素为0的（标准基）向量，\(\hat{\Sigma}_k={m_k}^{-1} \mathbf{X}_k^T\mathbf{X}_k\)。

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当每个任务节点得到去偏估计量\(\hat{\bm{w}}_k^u\)后，就会将其送往主节点。在主节点那边，待从所有任务节点收到\(\{\hat{\bm{w}}_k^u\}_{k=1}^K\)后，就来到了第\(12\)行的操作。第\(12\)行的操作在master节点的操作充分利用了不同任务参数之间的共享稀疏性，即主节点将接收到的估计量拼接成矩阵\(\hat{\textbf{W}}^u=(\hat{\bm{w}}_1^u, \hat{\bm{w}}_2^u,..., \hat{\bm{w}}_K^u)\)，然后再执行hard thresholding以过得\(\mathbf{S}\)的估计量：

\[\hat{S}(\Lambda)=\{j \text{ }| \text{ } ||\hat{\textbf{W}}_j^u||_2 > \Lambda \} \tag{4} \]

参考

• [1] Yuan M, Lin Y. Model selection and estimation in regression with grouped variables[J]. Journal of the Royal Statistical Society: Series B (Statistical Methodology), 2006, 68(1): 49-67.
• [2] Friedman J, Hastie T, Tibshirani R. A note on the group lasso and a sparse group lasso[J]. arXiv preprint arXiv:1001.0736, 2010.
• [3] Zhao P, Rocha G, Yu B. The composite absolute penalties family for grouped and hierarchical variable selection[J]. The Annals of Statistics, 2009, 37(6A): 3468-3497.
• [4] Liu H, Palatucci M, Zhang J. Blockwise coordinate descent procedures for the multi-task lasso, with applications to neural semantic basis discovery[C]//Proceedings of the 26th Annual International Conference on Machine Learning. 2009: 649-656.
• [5] Zhang C, Zhao P, Hao S, et al. Distributed multi-task classification: A decentralized online learning approach[J]. Machine Learning, 2018, 107(4): 727-747.
• [6] Yang P, Li P. Distributed primal-dual optimization for online multi-task learning[C]//Proceedings of the AAAI Conference on Artificial Intelligence. 2020, 34(04): 6631-6638.
• [7] Li J, Abbas W, Koutsoukos X. Byzantine Resilient Distributed Multi-Task Learning[J]. arXiv preprint arXiv:2010.13032, 2020.
• [8] Wang J, Kolar M, Srerbo N. Distributed multi-task learning[C]//Artificial intelligence and statistics. PMLR, 2016: 751-760.
• [9] Zhang C H, Zhang S S. Confidence intervals for low dimensional parameters in high dimensional linear models[J]. Journal of the Royal Statistical Society: Series B (Statistical Methodology), 2014, 76(1): 217-242.
• [10] Van de Geer S, Bühlmann P, Ritov Y, et al. On asymptotically optimal confidence regions and tests for high-dimensional models[J]. The Annals of Statistics, 2014, 42(3): 1166-1202.
• [11] Javanmard A, Montanari A. Confidence intervals and hypothesis testing for high-dimensional regression[J]. The Journal of Machine Learning Research, 2014, 15(1): 2869-2909.
• [12] 杨强等. 迁移学习[M].机械工业出版社, 2020.