分布式多任务学习:去偏Lasso实现高效通信

1 难点:如何实现高效的通信

我们考虑下列的多任务优化问题:

(1)minWk=1K[1nki=1nkL(yki,wk,xki)]+λpen(W)

这里pen(W)是一个用于增强group sparse的正则项(参见联合特征学习(joint feature learning),常为l1/l2l1/l范数的组合,用于只保留对所有任务有用的特征)。比如。在group lasso penalty[1][2] 中使用 pen(W)=k=1K||wk||2=k=1K(j=1dwjk2)1/2(这里d为特征维度,K为任务数,wkW的第k列); iCAP使用pen(W)=||W||,1=j=1d||wj||=j=1dmax1kK|wjk| [3][4](这里wj是指W的第j行。注意区分这个和矩阵的范数,求和与求最大的顺序是不一样的!这里相当于求向量的无穷范数之和),等等。

在分布式的环境中,我们可以按照文章《分布式多任务学习:同步和异步优化算法》提到的基于近端梯度的同步/异步优化算法来优化问题(1),但是正如我们在该篇博客中所说的,这种方法需要多轮的通信,时间开销较大。这样,如何实现机器间的有效通信是我们必须要想办法解决该问题。

现在的热点解决方案是采用去中心化(decentralize)的思想,即使任务节点绕过主节点,直接利用相邻任务节点的信息,这样可以大大降低通信量[5][6][7]。这种方法我们未来会着重介绍,此时按下不表。

当然,读者可能会思考,我们可以不可以直接每个任务各自优化各的l1正则目标函数,即每个任务直接采用近端梯度法求解下列的local lasso问题:

(2)w^k=argminwk1nki=1nkL(yki,wk,xki)+λk||wk||1

很遗憾,这种方法虽然做到了不同任务优化的解耦,但本质上变成了单任务学习,没有充分利用好多任务之间的联系(任务之间的练习须依靠group sparse正则项pen(W)来实现)。那么,有没有即能够减少通信次数,又能够保存group regularization的基本作用呢?(暂时不考虑任务节点相互通信的去中心化的方法)

2 基于去偏Lasso模型的分布式算法

论文《distributed multitask learning》[8]提出的算法介于传统的分布式近端梯度法和local lasso之间,其计算只需要一轮通信,但仍然保证了使用group regularization所带来的统计学效益。 该论文提出的算法描述如下:

去偏lasso算法

这里我们特别说明一下第4行的操作,mk1XkT(ykXkw^k)
是损失函数的次梯度;矩阵MkRd×d是Hessian矩阵的近似逆,mk是任务k对应的样本个数(事实上原论文假定m1=m2=...=mK);节点k对应的训练数据是(Xk,yk)


这种求去偏lasso估计量的方法由最近关于高维统计[9][10][11]的文章提出,这些论文都企图去除引入算法第3行所示的l1正则项所导致的偏差(bias),具体方法是运用l1正则损失函数关于wk的次梯度来构造得到参数成分的无偏估计量w^ku。下面我们会参照去偏估计器的采样分布,但我们的最终目标不同。[9][10][11]这三篇论文构造矩阵M的方法不同,本篇论文主要参照论文[11]的方法,复合假设。每个机器使用矩阵Mk=(m^kj)j=1d,它的行是:

(3)m^kj=argminmjRdmjTΣk^mjs.t.||Σ^kmjej||μ.

这里ej是第j个元素为1其他元素为0的(标准基)向量,Σ^k=mk1XkTXk


当每个任务节点得到去偏估计量w^ku后,就会将其送往主节点。在主节点那边,待从所有任务节点收到{w^ku}k=1K后,就来到了第12行的操作。第12行的操作在master节点的操作充分利用了不同任务参数之间的共享稀疏性,即主节点将接收到的估计量拼接成矩阵W^u=(w^1u,w^2u,...,w^Ku),然后再执行hard thresholding以过得S的估计量:

(4)S^(Λ)={j | ||W^ju||2>Λ}

参考

  • [1] Yuan M, Lin Y. Model selection and estimation in regression with grouped variables[J]. Journal of the Royal Statistical Society: Series B (Statistical Methodology), 2006, 68(1): 49-67.
  • [2] Friedman J, Hastie T, Tibshirani R. A note on the group lasso and a sparse group lasso[J]. arXiv preprint arXiv:1001.0736, 2010.
  • [3] Zhao P, Rocha G, Yu B. The composite absolute penalties family for grouped and hierarchical variable selection[J]. The Annals of Statistics, 2009, 37(6A): 3468-3497.
  • [4] Liu H, Palatucci M, Zhang J. Blockwise coordinate descent procedures for the multi-task lasso, with applications to neural semantic basis discovery[C]//Proceedings of the 26th Annual International Conference on Machine Learning. 2009: 649-656.
  • [5] Zhang C, Zhao P, Hao S, et al. Distributed multi-task classification: A decentralized online learning approach[J]. Machine Learning, 2018, 107(4): 727-747.
  • [6] Yang P, Li P. Distributed primal-dual optimization for online multi-task learning[C]//Proceedings of the AAAI Conference on Artificial Intelligence. 2020, 34(04): 6631-6638.
  • [7] Li J, Abbas W, Koutsoukos X. Byzantine Resilient Distributed Multi-Task Learning[J]. arXiv preprint arXiv:2010.13032, 2020.
  • [8] Wang J, Kolar M, Srerbo N. Distributed multi-task learning[C]//Artificial intelligence and statistics. PMLR, 2016: 751-760.
  • [9] Zhang C H, Zhang S S. Confidence intervals for low dimensional parameters in high dimensional linear models[J]. Journal of the Royal Statistical Society: Series B (Statistical Methodology), 2014, 76(1): 217-242.
  • [10] Van de Geer S, Bühlmann P, Ritov Y, et al. On asymptotically optimal confidence regions and tests for high-dimensional models[J]. The Annals of Statistics, 2014, 42(3): 1166-1202.
  • [11] Javanmard A, Montanari A. Confidence intervals and hypothesis testing for high-dimensional regression[J]. The Journal of Machine Learning Research, 2014, 15(1): 2869-2909.
  • [12] 杨强等. 迁移学习[M].机械工业出版社, 2020.
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