数值分析:幂迭代和PageRank算法(Numpy实现)
算法的完整实现代码我已经上传到了GitHub仓库:NumericalAnalysis-Python(包括其它数值分析算法),感兴趣的童鞋可以前往查看。
1 幂迭代算法(简称幂法)
1.1 占优特征值和占优特征向量
已知方阵, 的占优特征值是比的其他特征值(的绝对值)都大的特征值,若这样的特征值存在,则与相关的特征向量我们称为占优特征向量。
1.2 占优特征值和占优特征向量的性质
如果一个向量反复与同一个矩阵相乘,那么该向量会被推向该矩阵的占优特征向量的方向。如下面这个例子所示:
import numpy as np
def prime_eigen(A, x, k):
x_t = x.copy()
for j in range(k):
x_t = A.dot(x_t)
return x_t
if __name__ == '__main__':
A = np.array(
[
[1, 3],
[2, 2]
]
)
x = np.array([-5, 5])
k = 4
r = prime_eigen(A, x, k)
print(r)
该算法运行结果如下:
250, 260
为什么会出现这种情况呢?因为对都可以表示为所有特征向量的线性组合(假设所有特征向量张成空间)。我们设,则幂迭代的过程可以如下表示:
可以看出是和占优特征值对应的特征向量在多次计算后会占优。在这里4是最大的特征值,而计算就越来越接近占优特征向量的方向。
不过这样重复与矩阵连乘和容易导致数值上溢,我们必须要在每步中对向量进行归一化。就这样,归一化和与矩阵的连乘构成了如下所示的幂迭代算法:
import numpy as np
def powerit(A, x, k):
for j in range(k):
# 每次迭代前先对上一轮的x进行归一化
u = x/np.linalg.norm(x)
# 计算本轮迭代未归一化的x
x = A.dot(u)
# 计算出本轮对应的特征值
lam = u.dot(x)
# 最后一次迭代得到的特征向量x需要归一化为u
u = x / np.linalg.norm(x)
return u, lam
if __name__ == '__main__':
A = np.array(
[
[1, 3],
[2, 2]
]
)
x = np.array([-5, 5])
k = 10
# 返回占优特征值和对应的特征向量
u, lam = powerit(A, x, k)
print("占优的特征向量:\n", u)
print("占优的特征值:\n", lam)
算法运行结果如下:
占优的特征向量:
[0.70710341 0.70711015]
占优的特征值:
3.9999809247674625
观察上面的代码,我们在第轮迭代的第一行,得到的是归一化后的第轮迭代的特征向量近似值(想一想,为什么),然后按照计算出第轮迭代未归一化的特征向量近似值,需要计算出第轮迭代对应的特征值。这里我们我们直接直接运用了结论。该结论的推导如下:
证明
对于第轮迭代,其中特征值的近似未,我们想解特征方程
以得到第轮迭代时该特征向量对应的特征值。我们采用最小二乘法求方程的近似解。我们可以写出该最小二乘问题的正规方程为
然而我们可以写出该最小二乘问题的解为
式子就是瑞利(Rayleigh)商。给定特征向量的近似,瑞利商式特征值的最优近似。又由归一化的定义有
则我们可以将式写作:
又因为前面已经计算出,为了避免重复计算,我们将代入式得到:
证毕。
可以看出,幂迭代本质上每步进行归一化的不动点迭代。
2 逆向幂迭代
上面我们的幂迭代算法用于求解(绝对值)最大的特征值。那么如何求最小的特征值呢?我们只需要将幂迭代用于矩阵的逆即可。
我们有结论,矩阵的最大特征值就是矩阵的最小特征值的倒数。事实上,对矩阵 ,令其特征值表示为,如果其逆矩阵存在,则逆矩阵的特征值为, 特征向量和矩阵相同。该定理证明如下:
证明
有特征值和特征向量定义有
这蕴含着
因而
得证。
对逆矩阵使用幂迭代,并对所得到的的的特征值求倒数,就能得到矩阵的最小特征值。幂迭代式子如下:
但这要求我们对矩阵求逆,当矩阵过大时计算复杂度过高。于是我们需要稍作修改,对式的计算等价于
这样,我们就可以采用高斯消元对进行求解,
不过,我们现在这个算法用于找出矩阵最大和最小的特征值,如何找出其他特征值呢?
如果我们要找出矩阵在实数附近的特征值,可以对矩阵做出接近特征值的移动。我们有定理:对于矩阵,设其特征值为,则其转移矩阵的特征值为,而特征向量和矩阵相同。该定理证明如下:
证明
有特征值和特征向量定义有
从两侧减去,得到
因而矩阵的特征值为,特征向量仍然为,得证。
这样,我们想求矩阵在实数附近的特征值,可以先对矩阵使用幂迭代求出的最大特征值(因为我们知道转移后的特征值为,要使尽可能接近,就得取最大的特征值),其中每一步的可以对进行高斯消元得到。最后,我们计算出即为矩阵在附近的特征值。该算法的实现如下:
import numpy as np
def powerit(A, x, s, k):
As = A-s*np.eye(A.shape[0])
for j in range(k):
# 为了让数据不失去控制
# 每次迭代前先对x进行归一化
u = x/np.linalg.norm(x)
# 求解(A-sI)xj = uj-1
x = np.linalg.solve(As, u)
lam = u.dot(x)
lam = 1/lam + s
# 最后一次迭代得到的特征向量x需要归一化为u
u = x / np.linalg.norm(x)
return u, lam
if __name__ == '__main__':
A = np.array(
[
[1, 3],
[2, 2]
]
)
x = np.array([-5, 5])
k = 10
# 逆向幂迭代的平移值,可以通过平移值收敛到不同的特征值
s = 2
# 返回占优特征值和对应的特征值
u, lam = powerit(A, x, s, k)
# u为 [0.70710341 0.70711015],指向特征向量[1, 1]的方向
print("占优的特征向量:\n", u)
print("占优的特征值:\n", lam)
算法运行结果如下:
占优的特征向量:
[0.64221793 0.7665221 ]
占优的特征值:
4.145795530352381
3 幂迭代的应用:PageRank算法
幂迭代的一大应用就是PageRank算法。PageRank算法作用在有向图上的迭代算法,收敛后可以给每个节点赋一个表示重要性程度的值,该值越大表示节点在图中显得越重要。
比如,给定以下有向图:
其邻接矩阵为:
我们将邻接矩阵转置后,再沿着列归一化,就得到了马尔可夫概率转移矩阵:
我们定义上网者从一个页面转移到另一个随机页面的概率是,点击本页面上链接的概率是。设图的节点数为,然后我们可以计算Google矩阵做为有向图的一般转移矩阵。对矩阵每个元素而言,我们有:
注意,Google矩阵每一列求和为1,这是一个随机矩阵,它满足一个性质,即占优特征值为1.
我们采用矩阵表示形式,即:
其中为元素全为1的方阵。
然后我们定义向量,其元素是待在页面上的概率。我们由前面的幂迭代算法知道,矩阵与向量重复相乘后向量会被推到特征值为1的方向。而这里,与特征值1对应的特征向量是一组页面的稳态概率,根据定义这就是个页面的等级,即PageRank算法名字中的Rank的由来。(同时,这也是定义的马尔科夫过程的稳态解)。故我们定义迭代过程:
注意,每轮迭代后我们要对向量归一化(为了减少时间复杂度我们除以向量所有维度元素中的最大值即可,以近似二范数归一化);而且,我们在所有轮次的迭代结束后也要对向量进行归一化(除以所有维度元素之和以保证所有维度之和为1)。
我们对该图的PageRank算法代码实现如下(其中移动到一个随机页面的概率按惯例取0.15):
import numpy as np
# 归一化同时迭代,k是迭代步数
# 欲推往A特征值的方向,A肯定是方阵
def PageRank(A, p, k, q):
assert(A.shape[0]==A.shape[1])
n = A.shape[0]
M = A.T.astype(np.float32) #注意要转为浮点型
for i in range(n):
M[:, i] = M[:, i]/np.sum(M[:, i])
G = (q/n)*np.ones((n,n)) + (1-q)*M
#G_T = G.T
p_t = p.copy()
for i in range(k):
y = G.dot(p_t)
p_t = y/np.max(y)
return p_t/np.sum(p_t)
if __name__ == '__main__':
A = np.array(
[
[0, 1, 1],
[0, 0, 1],
[1, 0, 0]
]
)
k = 20
p = np.array([1, 1, 1])
q = 0.15 #概率为1移动到一个随机页面通常为0.15
# 概率为1-q移动到与本页面链接的页面
R= PageRank(A, p, k, q)
print(R)
该算法运行结果如下:
[0.38779177 0.21480614 0.39740209]
可以看到20步迭代结束后网页的Rank向量,这也可以看做网页的重要性程度。
4 知名程序库和源码阅读建议
PageRank算法有很多优秀的开源实现,这里推荐几个项目:
4.1 Spark-GraphX
GraphX是一个优秀的分布式图计算库,从属于Spark分布式计算框架,采用Scala语言实现了很多分布式的图计算算法,也包括我们这里所讲的PageRank算法。
文档地址:https://spark.apache.org/graphx
源码地址:https://github.com/apache/spark
4.2 neo4j
neo4j是一个采用Java实现的知名的图数据库,该数据库也提供了PageRank算法的实现。
文档地址:https://neo4j.com/
源码地址:https://github.com/neo4j/neo4j.git
4.3 elastic-search
如果你有兴趣深入研究搜索引擎的实现,那么向你推荐elastic-search项目,它是基于Java实现的一个搜索引擎。
文档地址:https://www.elastic.co/cn/
源码地址:https://github.com/elastic/elasticsearch.git
参考
- [1] Timothy sauer. 数值分析(第2版)[M].机械工业出版社, 2018.
- [2] 李航. 统计学习方法(第2版)[M]. 清华大学出版社, 2019.
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