统计学习：朴素贝叶斯模型(Numpy实现)

模型

生成模型介绍

我们定义样本空间为\(\mathcal{X} \subseteq \mathbb{R}^n\)，输出空间为\(\mathcal{Y} = \{c_1, c_2, ..., c_K\}\)。\(\textbf{X}\)为输入空间上的随机向量，其取值为\(\textbf{x}\)，满足\(\textbf{x} \in \mathcal{X}\)；\(Y\)为输出空间上的随机变量，设其取值为\(y\)，满足\(y \in \mathcal{Y}\)。我们将容量为\(m\)的训练样本表示为:

\[\begin{aligned} D = \{\{\textbf{x}^{(1)}, y^{(1)}\}, \{\textbf{x}^{(2)}, y^{(2)}\},..., \{\textbf{x}^{(m)}, y^{(m)}\}\} \end{aligned}\tag{1} \]

\[ \]

我们遵循机器学习的一个基本假设，即训练样本是从一个未知的总体分布\(P(\textbf{X} = \textbf{x}, Y=y)\)中采样产生，且训练样本独立同分布。

我们采取概率模型的视角，即将分类模型表示为条件概率分布\(P(Y=y|\textbf{X}=\textbf{x})\)。而依据分布\(P(Y=y|\textbf{X}=\textbf{x})\)的求解可将模型分为判别模型和生成模型。判别模型直接对条件概率分布\(P(Y=y|\textbf{X}=\textbf{x})\)进行参数估计(估计方法可采用极大似然估计或贝叶斯估计)；而生成模型则利用条件概率公式\(P(Y=y|\textbf{X}=\textbf{x}) = \frac{P(\textbf{X}=\textbf{x}, Y=y)}{P(\textbf{X}=\textbf{x})}\)来计算分布。分子\(P(\textbf{X}=\textbf{x}, Y=y)\)是一个联合概率分布，能够还原出联合概率分布\(P(\textbf{X}=\textbf{x}, Y=y)\)是生成模型的一大特性。

朴素贝叶斯模型推导

我们对分子继续运用条件概率公式，进一步得到

\[\begin{aligned} P(Y=y|\textbf{X}=\textbf{x}) = \frac{P(\textbf{X}=\textbf{x}|Y=y)P(Y=y)}{P(\textbf{X}=\textbf{x})} \end{aligned} \tag{2} \]

这个公式即大名鼎鼎的贝叶斯公式。 这里我们采用贝叶斯学派的视角，将\(P(Y=y)\)称为先验概率分布，表示在数据观测之前对\(Y\)的信念；\(P(Y = y|\textbf{X}=\textbf{x})\)称为后验概率分布，表示经过观测数据\(\textbf{X}\)(也称“证据”)校正后对\(Y\)的信念。注意不要和和贝叶斯估计中参数\(\theta\)的先验和后验分布搞混了，贝叶斯估计也应用了贝叶斯公式，但先验概率分布和后验概率分布的实际含义与这里完全不同。

我们再将分母运用全概率公式展开，我们得到

\[\begin{aligned} P(Y=y|\textbf{X}=\textbf{x})= \frac{P(\textbf{X}=\textbf{x}|Y=y)P(Y=y)}{\sum_{y\in \mathcal{Y}}P(\textbf{X}=\textbf{x}|Y=y)P(Y=y)} \end{aligned}\tag{3} \]

这意味着我们只需要学习概率分布\(P(Y=y)\)和\(P(\textbf{X}=\textbf{x}|Y=y)\)，而无需关心\(P(\textbf{X}=\textbf{x})\)。

将随机向量\(\textbf{x}\)沿着其特征维度展开，我们继续得到

\[\begin{aligned} P(\textbf{X} = \textbf{x} | Y = y) = P(X_1 = x_1, ..., X_n = x_n | Y=y), \quad n \text{为特征维度} \end{aligned}\tag{4} \]

这里我们为了简单起见，假设样本属性是离散的，第\(j\)个属性\(x_j\)的属性集为\(A_j=\{a_{j1}, a_{j2},...,a_{jl},..., a_{j{N_j}}\}\)，满足\(x_j \in A_j\)。可以看出，条件概率分布\(P(\textbf{X}=\textbf{x}|Y=y)\)的参数总量是指数级的(\(x_j\)的属性集\(A_j\)大小为\(N_j\)，\(j=1, 2, ..., n\)，\(Y\)可取值有\(K\)个，那么参数个数为\(K \prod_{j=1}^{n}N_j\))，不能对其直接进行参数估计。

因此，我们决定对原本拥有指数级参数数量的分布进行拆分。这里，朴素贝叶斯法做出了条件独立性假设：样本特征在类确定的条件下条件独立(这也是“朴素”(Naive)一词的得名)。这样我们就能将原本拥有庞大参数的概率分布进行拆分：

\[\begin{aligned} P(\textbf{X} = \textbf{x} | Y=y) = P(X_1 = x_1, ..., X_n = x_n | Y=y) = \prod_{j=1}^nP(X_j = x_j | Y = y) \end{aligned}\tag{5} \]

这样，我们就可以对\(P(\textbf{X} | Y=y)\)分布进行高效的参数估计。之后，我们对于输入样本\(\textbf{x}\)，计算概率分布\(P(Y=y|\textbf{X}=\textbf{x})\)：

\[\begin{aligned} P(Y=y|\textbf{X}=\textbf{x})= \frac{P(\textbf{X}=\textbf{x}|Y=y)P(Y=y)}{\sum_{ y \in \mathcal{Y}}P(\textbf{X}=\textbf{x}|Y=y)P(Y=y)} = \frac{\prod_{j=1}^nP(X_j = x_j | Y=y)P(Y=y)}{\sum_{y \in \mathcal{Y}}[ \prod_{j=1}^nP(X_j = x_j | Y=y)P(Y=y) ]} \end{aligned}\tag{6} \]

我们采取后验概率最大化原则(即最终的输出分类取使条件概率最大的那个)，设\(f(\textbf{x})\)为分类决策函数，即

\[\begin{aligned} y = f(\textbf{x}) = \underset{y}{\arg\max} P(Y = y|\textbf{X}=\textbf{x})=\underset{y}{\arg\max}\frac{\prod_{j=1}^nP(X_j = x_j | Y=y)P(Y=y)}{\sum_{y \in \mathcal{Y}}[ \prod_{j=1}^nP(X_j = x_j | Y=y)P(Y=y) ]} \end{aligned}\tag{7} \]

我们发现，不管\(y\)取何值，式\((7)\)中分母总是恒定的，因此我们可以将式\((7)\)化简为

\[\begin{aligned} y = f(\textbf{x}) = \underset{y}{\arg\max} P(Y=y|\textbf{X}=\textbf{x}) = \underset{y}{\arg\max}\prod_{j=1}^nP(X_j = x_j | Y=y)P(Y=y) \end{aligned}\tag{8} \]

这就是朴素贝叶斯模型分类决策函数的最终表达式。

参数估计

极大似然估计

如式\((8)\)中所述，我们需要对先验概率分布\(P(Y=y)\)和条件概率分布\(P(X_j = x_j|Y=y)\)进行参数估计。根据极大似然估计(具体的推导过程可以参见李航《统计学习方法》中的习题解答)，我们可以运用训练集\(D\)将先验概率分布\(P(Y=y)\)估计为

\[\begin{aligned} P(Y=y) = \frac{\sum_{i=1}^m(y^{(i)} = y)}{m}, \quad m \text{为}D \text{中样本个数} \end{aligned} \tag{9} \]

同样，条件概率分布\(P(X_j = x_j|Y=y)\)的估计为

\[\begin{aligned} P(X_j = x_j | Y=y) = \frac{P(X_j = x_j, Y = y)}{P(Y = y)} = \frac{\sum_{i=1}^{m}I(x_j^{(i)} =x_j, y^{(i)}=y)}{\sum_{i=1}^{m}I(y^{(i)}=y)} , \quad m \text{为}D \text{中样本个数} \end{aligned} \tag{10} \]

贝叶斯估计(平滑修正)

观察式\((10)\)可知，如果训练集中属性值\(x_j\)和类\(y\)没有同时出现过，即\(P(X_j=x_j, Y=y)=0\)，那么\(P(X_j = x_j | Y=y)=0\)会直接导致连乘式。这就意味着不管其他属性如何，哪怕其他属性明显符合要求，样本\(\prod_{j=1}^nP(X_j = x_j | Y=y)=0\) ，\(\textbf{x}\)属于类\(y\)的概率都会被判为0，这明显不太合理。

因此，为了避免其他属性携带的信息被训练集中未出现的属性值“抹去”，我们采用贝叶斯估计，等价于在估计概率值时通常进行“平滑”(smoothing)(具体的推导过程可以参见李航《统计学习方法》中的习题解答)。即令式\((10)\)修正为

\[\begin{aligned} P_{\lambda}(X_j = x_j|Y=y) = \frac{\sum_{i=1}^{m}I(x_j^{(i)} =x_j, y^{(i)}=y) + \lambda}{\sum_{i=1}^{m}I(y^{(i)}=y)+N_j \lambda}, \quad \lambda > 0, \quad N_j\text{为属性}x_j\text{可能的取值数} \end{aligned} \tag{11} \]

我们常取\(\lambda=1\)，这时称为拉普拉斯平滑(Laplacian smoothing)。

类似地，式\((9)\)中先验概率被修正为：

\[\begin{aligned} P_\lambda(Y=y) = \frac{\sum_{i=1}^m(y^{(i)} = y)+\lambda}{m+K\lambda}, \quad \lambda > 0, \quad K\text{为标签}y\text{可能的取值数} \end{aligned} \tag{12} \]

可以看出，拉普拉斯平滑解决了训练集样本数不足导致的概率值为 0 的问题。拉普拉斯修正实际上假设了属性值与类别均匀分布，这是在参数估计的过程中额外引入的关于数据的先验 (prior)。当样本容量趋近于无穷时，我们发现修正过程所引入的先验的影响也趋近于 0，使得计算的概率值趋近于实际的概率值。

算法

在实际的应用中，朴素贝叶斯模型有两种训练方式。

若使用的场景对模型的预测速度要求较高，在给定训练集\(D\)的情况下，我们将概率分布\(P_\lambda(Y=y)\)和概率分布\(P_{\lambda}(X_j = x_j|Y=y)\)所有可能的取值(\(y\in \mathcal{Y}\)，\(x_j \in A_j\)，\(A_j\)为第\(j\)个样本属性的取值集合)都计算出来存好，然后在测试样本\(\textbf{x}^{*}\)来了之后，通过“查表”的方式将对应的概率值检索出来，然后再对其类别进行判别。这样，我们计算概率分布\(P_\lambda(Y=y)\)和概率分布\(P_{\lambda}(X_j = x_j|Y=y)\)所有可能取值的过程即对朴素贝叶斯模型进行显式训练的过程。
朴素贝叶斯的训练和测试算法如下：

如果我们不断有新的训练数据产生，可以采用“懒惰学习”(lazy learning)的方法，先不进行任何训练，测试样本来了之后再依照测试样本的属性\(x_j^{*}\)和当前数据集的状况来计算单点概率，这样可以避免对所有可能的属性都计算单点概率。若训练数据不断增加，则可在现有计算结果的基础上，仅仅对新增样本的属性值所涉及的单点概率进行计数修正，这样可以实现“增量学习”。

代码实现

使用Python语言实现朴素贝叶斯算法如下（这里我们采用Iris数据集进行测试）。

from numpy.lib.index_tricks import c_
from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.metrics import accuracy_score
import numpy as np
from copy import deepcopy
class NaiveBayes():
    def __init__(self, A, C, lambda_v=1):
        #常常取lambda_v=1，此时称为拉普拉斯平滑
        self.K = len(C)
        self.A = deepcopy(A)
        self.C = deepcopy(C)
        self.y_cnt = {} #记录sum I(y_i = y)
        self.y_prob = {}  # 记录平滑后的P_lambda(Y = y)
        self.lambda_v = lambda_v # 平滑参数
        self.x_condition_y_prob = {} 
        #记录P_lambda(X_j = x_j | Y = y),这是个字典-列表-字典嵌套
        # 初始化y_cnt和y_prob
        for c_k in self.C:
            self.y_cnt[c_k], self.y_prob[c_k] = 0, 0
        # 初始化attr_cnt和x_condition_y_prob
        for c_k in self.C:
            self.x_condition_y_prob[c_k] = [dict() for j in range(len(self.A))]
            for j in range(len(self.A)):
                for a_j_l in self.A[j]:
                    self.x_condition_y_prob[c_k][j][a_j_l] = 0

    def fit(self, X_train, y_train):
        try:
            assert(X_train.shape[0] == y_train.shape[0])
        except:
            AssertionError("input dimension 0 should be the same!")

        # 记录 sum I(y_i = y)
        for y in y_train:
            try:
                self.y_cnt[y] += 1 
                #如果训练集中没出现过，此处y_cnt[y]将一直为0
            except:
                raise ValueError("invalid label!")   
        # 计算P_lambda(Y = c_k)
        # 并对所有概率进行平滑处理
        for c_k in self.C:
            self.y_prob[c_k] = self.y_cnt[c_k] 
            self.y_prob[c_k] += self.lambda_v
            self.y_prob[c_k] /= (X_train.shape[0] + self.K * self.lambda_v)
    
        # 记录sum I(x_j(i) = x_j, y(i) = y)
        # 遍历每一个训练样本
        for x, y in zip(X_train, y_train):
            # 遍历训练样本中的每一个属性
            for j, attr in enumerate(x):
                try:
                    self.x_condition_y_prob[y][j][attr] += 1 
                    #如果训练集中没出现过，此处self.x_condition_y_prob[y][attr] 将一直为0
                except:
                    raise ValueError("invalid attribution %.1f!" % attr)
        # 计算P_lambda(X_j = x_j | Y = c_k)
        # 并对所有样本进行平滑处理
        for c_k in self.C:
            c_cnt = self.y_cnt[c_k] 
            # 遍历所有属性的属性集合
            for j in range(len(self.A)):
                # 遍历每一个属性的取值集合
                for a_j_l in self.A[j]:
                    self.x_condition_y_prob[c_k][j][a_j_l] += self.lambda_v
                    self.x_condition_y_prob[c_k][j][a_j_l]/=(c_cnt + len(self.A[j])*self.lambda_v)             
            
    def pred(self, X_test):
        # 遍历测试集中的每一个样本
        y_pred = []
        for x in X_test:
            max_ck = self.C[0]
            max_prob = -1

            # 考察每一种可能的标签
            for c_k in self.C:
                prob = 1.0
                # 考察该测试样本的每一个属性
                for j, attr in enumerate(x):
                    prob *= self.x_condition_y_prob[c_k][j][attr]

                prob *= self.y_prob[c_k]
                if prob == 0:
                    raise ValueError("prob underflow!")
                if prob > max_prob:
                    max_prob = prob
                    max_ck = c_k
            y_pred.append(max_ck)
        return np.array(y_pred)
                
# 获得特征和类标记的结合
def get_A_and_C(X, y):
    # A为第j各属性的可能取值集合
    A, C = [set() for j in range(X.shape[1])], set()
    # 遍历每个样本的特征向量
    for x in X:
        for j, attr in enumerate(x):
            A[j].add(attr)
    # 遍历每个样本的标签
    for c_k in y:
        C.add(c_k)
    A = [ list(A_j) for A_j in A]
    return list(A), list(C)

if __name__ == "__main__":
    X, y = load_iris(return_X_y=True)
    A, C = get_A_and_C(X, y)
    X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.5, random_state=0)
    clf = NaiveBayes(A, C)
    clf.fit(X_train, y_train)
    y_pred = clf.pred(X_test)
    acc_score = accuracy_score(y_test, y_pred)
    print("The accuracy is: %.1f" % acc_score)

最终的测试结果如下：

The accuracy is: 0.9

可以看出我们实现的算法在Iris数据集上取得了90%的精度，说明我们算法的效果不错。

参考文献

• [1] 李航. 统计学习方法(第2版)[M]. 清华大学出版社, 2019.
• [2] 周志华. 机器学习[M]. 清华大学出版社, 2016.
• [3] Calder K. Statistical inference[J]. New York: Holt, 1953.