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UVa11054 Gergovia的酒交易(数学归纳法)

直线上有n个等距村庄,每个村庄要么买酒,要么卖酒。设第i个村庄对酒的需求为Ai(1000Ai1000),其中Ai>0表示买酒,Ai<0表示卖酒。所有村庄供需平衡,即所有Ai之和等于0。
k个单位的酒运到相邻村庄去需要k个单位的劳动力,问最少需要多少劳动力才能满足所有的村庄的要求。输出保证在64位带符号整数范围内。

输入输出样例

输入

5
5 -4 1 -3 1
6
-1000 -1000 -1000 1000 1000 1000
0

输出

9
9000

题解

这题可以采用数学归纳法的角度进行思考,
首先,我们先看基准情形,第1个村庄对酒的需求为Ai(可能需要买,可能需要卖)。那么,不管是买酒还是卖酒,都需要第1个村庄和第2n个村庄之间存在大小为|Ai|的酒搬运(可能酒交易的双方并不是第1个村庄和第2个村庄,但是必须经由这两个村庄)。
接下来我们开始归纳,我们设lasti=j=1j=iAj表示第1i个村庄对酒的总需求(可能需要买,可能需要卖)。那么,不管是买酒还是卖酒,都需要第i个村庄和第i+1个村庄之间存在大小为|lasti|的酒搬运(可能部分酒交易的双方并不是第i+1i个村庄,但是必须经由这两个村庄)。我们用ansi表示第1i个村庄需要的总搬运需求。
综上,ansi的递推关系式可以表述如下:

(1)ansi={|Ai|,i=1ansi1+|lasti|,1in

如果你觉得以上的数学式子还是过于抽象,那么可以继续看下面代入值计算的例子。我们设村庄数量为n=4,村庄14的酒需求分别是3,+4,5,+4,那么我们模拟算法的过程如下图所示:

可以看到,最后求得的4个村庄的总共搬运劳动力ans4=8
我们再看村庄14的酒需求分别是+3,4,+5,4的情况。由上面的推导可知,这种情况其实只是把每个村庄的买卖情况取反了,但最后的总搬运量不变。我们模拟算法的过程如下图所示:

可以看到,最后求得的4个村庄的总共搬运劳动力和上面的情况一样,仍然是ans4=8。由此可得,我们的算法正确。算法的Python代码实现如下:

while True:
    n = int(input())
    if n == 0:
        break
    A = list(map(int, input().strip().split()))
    ans, last = 0, 0
    for i in range(n):
        last += A[i]
        ans += abs(last)
    print(ans)
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