数据结构与算法（七）——图

一、图

1、介绍

　　图（Graph）是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成，通常表示为：G（V，E），其中，G表示一个图，V是图G中顶点的集合，E是图G中边的集合。

　　无向完全图：在无向图中，任意两个顶点之间都存在边。含有 n 个顶点的无向完全图有 n*(n - 1)/2 条边。
　　有向完全图：在有向图中，任意两个顶点之间都存在弧。含有 n 个顶点的有向完全图有 n*(n - 1)条边。
　　通常认为边或弧数小于 n*logn （n是顶点个数）的图为稀疏图，反之为稠密图。

2、图的存储结构

　　邻接矩阵：适用稠密图

　　无向图

　　有向图

 

　　网

　　邻接表：适用稀疏图

　　无向图

　　有向图-顶点当弧尾

　　有向图-顶点当弧头

　　有向图-网

3、图的遍历

　　深度优先遍历顺序为：1->2->4->8->5->3->6->7
　　广度优先遍历顺序为：1->2->3->4->5->6->7->8
　　深度优先遍历（DepthFirstSearch：DFS）：类似于树的前序遍历
　　思想：略。
　　代码示例：见后

　　广度优先遍历（BreadthFirstSearch：BFS）：类似于树的层序遍历
　　思想：需要一个辅助队列。

　　代码示例：深度优先、广度优先

  1 public class Graph {
  2 
  3     // 顶点集
  4     private List<String> vertex;
  5     // 邻接矩阵
  6     private int[][] matrix;
  7 
  8     public Graph(String[] vertex, int[][] matrix) {
  9         if (vertex == null || vertex.length == 0 || matrix == null) {
 10             return;
 11         }
 12 
 13         // 初始化顶点集
 14         this.vertex = new ArrayList<>(Arrays.asList(vertex));
 15 
 16         // 初始化邻接矩阵
 17         this.matrix = new int[vertex.length][vertex.length];
 18         for (int i = 0; i < vertex.length; i++) {
 19             System.arraycopy(matrix[i], 0, this.matrix[i], 0, vertex.length);
 20         }
 21     }
 22 
 23     // 深度优先遍历
 24     public void dfs() {
 25         // 记录某个结点是否被访问
 26         boolean[] visited = new boolean[vertex.size()];
 27         for (int i = 0; i < vertex.size(); i++) {
 28             if (!visited[i]) {
 29                 this.dfs(visited, i);
 30             }
 31         }
 32     }
 33 
 34     private void dfs(boolean[] visited, int i) {
 35         System.out.print(vertex.get(i) + "->");
 36         visited[i] = true;
 37 
 38         int w = this.getFirstNeighbor(i);
 39         // 找到
 40         while (w != -1) {
 41             if (!visited[w]) {
 42                 dfs(visited, w);
 43             }
 44             // w已经被访问过
 45             w = getNextNeighbor(i, w + 1);
 46         }
 47 
 48     }
 49 
 50     // 广度优先遍历
 51     public void bfs() {
 52         // 记录某个结点是否被访问
 53         boolean[] visited = new boolean[vertex.size()];
 54         for (int i = 0; i < vertex.size(); i++) {
 55             if (!visited[i]) {
 56                 this.bfs(visited, i);
 57             }
 58         }
 59     }
 60 
 61     private void bfs(boolean[] visited, int i) {
 62         System.out.print(vertex.get(i) + "->");
 63         visited[i] = true;
 64 
 65         // 队列.记录结点访问顺序
 66         Queue<Integer> queue = new LinkedList<>();
 67         queue.offer(i);
 68 
 69         while (!queue.isEmpty()) {
 70             final Integer u = queue.poll();
 71 
 72             // 得到u的第一个邻接结点的下标w
 73             int w = this.getFirstNeighbor(u);
 74             while (w != -1) {
 75                 if (!visited[w]) {
 76                     System.out.print(vertex.get(w) + "->");
 77                     visited[w] = true;
 78                     queue.offer(w);
 79                 }
 80                 // 以u为前驱，找w后的下一个邻接点
 81                 w = this.getNextNeighbor(u, w + 1);
 82             }
 83         }
 84     }
 85 
 86     private int getFirstNeighbor(int index) {
 87         return this.getNextNeighbor(index, 0);
 88     }
 89 
 90     // 根据前一个邻接结点的下标来获取下一个邻接结点
 91     private int getNextNeighbor(int index, int v2) {
 92         for (int j = v2; j < vertex.size(); j++) {
 93             if (matrix[index][j] > 0) {
 94                 return j;
 95             }
 96         }
 97 
 98         return -1;
 99     }
100 
101     // 显示图的邻接矩阵
102     public void showGraph() {
103         for (int[] link : this.matrix) {
104             System.out.println(Arrays.toString(link));
105         }
106     }
107 
108 }
深度、广度优先

　　代码示例：测试类

 1 public class Main {
 2     public static void main(String[] args) {
 3         String[] vertex = {"1", "2", "3", "4", "5", "6", "7", "8"};
 4 
 5         int[][] matrix = {
 6                 /*1*//*2*//*3*//*4*//*5*//*6*//*7*//*8*/
 7                 /*1*/ {0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0},
 8                 /*2*/ {0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0},
 9                 /*3*/ {0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0},
10                 /*4*/ {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1},
11                 /*5*/ {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1},
12                 /*6*/ {0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0},
13                 /*7*/ {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0},
14                 /*8*/ {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}};
15 
16         Graph graph = new Graph(vertex, matrix);
17 
18         graph.showGraph();
19         System.out.print("深度优先:");
20         graph.dfs();
21 
22         System.out.print("\n广度优先:");
23         graph.bfs();
24     }
25 }
测试类

二、最小生成树

　　生成树上边的权值之和达到最小。不成环。

1、普里姆算法（Prim）

　　针对顶点来展开，适用于稠密图。
　　思想：

　　代码示例：Prim

  1 public class Graph {
  2 
  3     // 顶点集
  4     private List<String> vertex;
  5     // 邻接矩阵
  6     private int[][] matrix;
  7 
  8     public Graph(String[] vertex, int[][] matrix) {
  9         if (vertex == null || vertex.length == 0 || matrix == null) {
 10             return;
 11         }
 12 
 13         // 初始化顶点集
 14         this.vertex = new ArrayList<>(Arrays.asList(vertex));
 15 
 16         // 初始化邻接矩阵
 17         this.matrix = new int[vertex.length][vertex.length];
 18         for (int i = 0; i < vertex.length; i++) {
 19             System.arraycopy(matrix[i], 0, this.matrix[i], 0, vertex.length);
 20         }
 21     }
 22 
 23     /**
 24      * prim 算法生成最小生成树
 25      *
 26      * @param v 表示从图的第v个顶点开始生成 'A'->0 'B'->1
 27      */
 28     public List<Edge> prim(int v) {
 29         if (v < 0 || v >= this.vertex.size()) {
 30             return new ArrayList<>();
 31         }
 32 
 33         final int size = this.vertex.size();
 34         boolean[] visited = new boolean[size];
 35         List<Edge> result = new ArrayList<>();
 36 
 37         // 当前结点标记为已访问
 38         visited[v] = true;
 39         int h1 = -1;
 40         int h2 = -1;
 41         int minWeight = Integer.MAX_VALUE;
 42         for (int k = 1; k < size; k++) {
 43             //这个是确定每一次生成的子图,和哪个结点的距离最近
 44             for (int i = 0; i < size; i++) {// i结点表示被访问过的结点
 45                 for (int j = 0; j < size; j++) {//j结点表示还没有访问过的结点
 46                     if (visited[i] && !visited[j] && this.matrix[i][j] > 0 && this.matrix[i][j] < minWeight) {
 47                         //替换minWeight(寻找已经访问过的结点和未访问过的结点间的权值最小的边)
 48                         minWeight = this.matrix[i][j];
 49                         h1 = i;
 50                         h2 = j;
 51                     }
 52                 }
 53             }
 54             //找到一条边是最小
 55             //System.out.println("边<" + this.vertex.get(h1) + "," + this.vertex.get(h2) + "> 权值:" + minWeight);
 56             result.add(new Edge(vertex.get(h1), vertex.get(h2), minWeight));
 57 
 58             //将当前这个结点标记为已经访问
 59             visited[h2] = true;
 60             //minWeight 重新设置为最大值 10000
 61             minWeight = Integer.MAX_VALUE;
 62         }
 63 
 64         return result;
 65     }
 66 
 67     // 显示图的邻接矩阵
 68     public void showGraph() {
 69         for (int[] link : this.matrix) {
 70             System.out.println(Arrays.toString(link));
 71         }
 72     }
 73 
 74     public static class Edge implements Comparable<Edge> {
 75         private final String start;
 76         private final String end;
 77         private final int weight;
 78 
 79         public Edge(String start, String end, int weight) {
 80             this.start = start;
 81             this.end = end;
 82             this.weight = weight;
 83         }
 84 
 85         @Override
 86         public String toString() {
 87             return "Edge{" +
 88                     "start='" + start + '\'' +
 89                     ", end='" + end + '\'' +
 90                     ", weight=" + weight +
 91                     '}';
 92         }
 93 
 94         @Override
 95         public int compareTo(Edge o) {
 96             return this.weight - o.weight;
 97         }
 98     }
 99 
100 }
Prim算法

　　代码示例：测试类

 1 public class Main {
 2     public static void main(String[] args) {
 3         String[] vertex = {"A", "B", "C", "D", "E", "F"};
 4 
 5         int[][] matrix = {
 6                 /*A*//*B*//*C*//*D*//*E*//*F*/
 7                 /*A*/ {0, 6, 1, 5, -1, -1},
 8                 /*B*/ {6, 0, 5, -1, 3, -1},
 9                 /*C*/ {1, 5, 0, 5, 6, 4},
10                 /*D*/ {5, -1, 5, 0, -1, 2},
11                 /*E*/ {-1, 3, 6, -1, 0, 6},
12                 /*F*/ {-1, -1, 4, 2, 6, 0}};
13 
14         Graph graph = new Graph(vertex, matrix);
15 
16         graph.showGraph();
17         final List<Graph.Edge> prim = graph.prim(1);
18 
19         System.out.println("prim算法最小生成树为");
20         for (Graph.Edge edge : prim) {
21             System.out.println(edge);
22         }
23     }
24 }
25 
26 // 结果
27 [0, 6, 1, 5, -1, -1]
28 [6, 0, 5, -1, 3, -1]
29 [1, 5, 0, 5, 6, 4]
30 [5, -1, 5, 0, -1, 2]
31 [-1, 3, 6, -1, 0, 6]
32 [-1, -1, 4, 2, 6, 0]
33 prim算法最小生成树为
34 Edge{start='B', end='E', weight=3}
35 Edge{start='B', end='C', weight=5}
36 Edge{start='C', end='A', weight=1}
37 Edge{start='C', end='F', weight=4}
38 Edge{start='F', end='D', weight=2}
测试类

2、克鲁斯卡尔算法（Kruskal）

　　针对边来展开，适用于稀疏图。
　　思想：

　　代码示例：Kruskal

  1 public class Graph {
  2 
  3     // 顶点集
  4     private List<String> vertex;
  5     // 邻接矩阵
  6     private int[][] matrix;
  7 
  8     public Graph(String[] vertex, int[][] matrix) {
  9         if (vertex == null || vertex.length == 0 || matrix == null) {
 10             return;
 11         }
 12 
 13         // 初始化顶点集
 14         this.vertex = new ArrayList<>(Arrays.asList(vertex));
 15 
 16         // 初始化邻接矩阵
 17         this.matrix = new int[vertex.length][vertex.length];
 18         for (int i = 0; i < vertex.length; i++) {
 19             System.arraycopy(matrix[i], 0, this.matrix[i], 0, vertex.length);
 20         }
 21     }
 22 
 23     // Kruskal算法
 24     public List<Edge> kruskal() {
 25         // 边集
 26         List<Edge> edges = this.initEdges();
 27         if (edges.size() == 0) {
 28             return new ArrayList<>();
 29         }
 30 
 31         int[] ends = new int[edges.size()];
 32         final Map<String, Integer> vertexMap = this.getVertexMap();
 33 
 34         List<Edge> result = new ArrayList<>();
 35 
 36         //遍历edges 数组，将边添加到最小生成树中时，判断是准备加入的边否形成了回路，如果没有，就加入 rets, 否则不能加入
 37         Collections.sort(edges);
 38 
 39         for (Edge edge : edges) {
 40             final int p1 = vertexMap.get(edge.start);
 41             final int p2 = vertexMap.get(edge.end);
 42 
 43             //获取p1这个顶点在已有最小生成树中的终点
 44             int m = this.getEnd(ends, p1);
 45             //获取p2这个顶点在已有最小生成树中的终点
 46             int n = this.getEnd(ends, p2);
 47 
 48             // 没有构成回路
 49             if (m != n) {
 50                 // 设置m在"已有最小生成树"中的终点
 51                 ends[m] = n;
 52 
 53                 result.add(edge);
 54             }
 55         }
 56 
 57         return result;
 58     }
 59 
 60     private Map<String, Integer> getVertexMap() {
 61         Map<String, Integer> map = new HashMap<>();
 62         for (int i = 0; i < this.vertex.size(); i++) {
 63             map.put(this.vertex.get(i), i);
 64         }
 65         return map;
 66     }
 67 
 68     /**
 69      * 获取下标为i的顶点的终点,用于后面判断两个顶点的终点是否相同
 70      *
 71      * @param ends 数组就是记录了各个顶点对应的终点是哪个,ends 数组是在遍历过程中，逐步形成
 72      * @param i    表示传入的顶点对应的下标
 73      * @return 下标为i的这个顶点对应的终点的下标
 74      */
 75     private int getEnd(int[] ends, int i) { // i = 4 [0,0,0,0,5,0,0,0,0,0,0,0]
 76         while (ends[i] != 0) {
 77             i = ends[i];
 78         }
 79         return i;
 80     }
 81 
 82     // 显示图的邻接矩阵
 83     public void showGraph() {
 84         for (int[] link : this.matrix) {
 85             System.out.println(Arrays.toString(link));
 86         }
 87     }
 88 
 89     private List<Edge> initEdges() {
 90         // 初始化边集
 91         List<Edge> edges = new ArrayList<>();
 92         for (int i = 0; i < vertex.size(); i++) {
 93             for (int j = i + 1; j < vertex.size(); j++) {
 94                 if (matrix[i][j] > 0) {
 95                     edges.add(new Edge(vertex.get(i), vertex.get(j), matrix[i][j]));
 96                 }
 97             }
 98         }
 99 
100         return edges;
101     }
102 
103     public static class Edge implements Comparable<Edge> {
104         private final String start;
105         private final String end;
106         private final int weight;
107 
108         public Edge(String start, String end, int weight) {
109             this.start = start;
110             this.end = end;
111             this.weight = weight;
112         }
113 
114         @Override
115         public String toString() {
116             return "Edge{" +
117                     "start='" + start + '\'' +
118                     ", end='" + end + '\'' +
119                     ", weight=" + weight +
120                     '}';
121         }
122 
123         @Override
124         public int compareTo(Edge o) {
125             return this.weight - o.weight;
126         }
127     }
128 
129 }
Kruskal算法

　　代码示例：测试类

 1 public class Main {
 2     public static void main(String[] args) {
 3         String[] vertex = {"A", "B", "C", "D", "E", "F"};
 4 
 5         int[][] matrix = {
 6                 /*A*//*B*//*C*//*D*//*E*//*F*/
 7                 /*A*/ {0, 6, 1, 5, -1, -1},
 8                 /*B*/ {6, 0, 5, -1, 3, -1},
 9                 /*C*/ {1, 5, 0, 5, 6, 4},
10                 /*D*/ {5, -1, 5, 0, -1, 2},
11                 /*E*/ {-1, 3, 6, -1, 0, 6},
12                 /*F*/ {-1, -1, 4, 2, 6, 0}};
13 
14         Graph graph = new Graph(vertex, matrix);
15         graph.showGraph();
16 
17         final List<Graph.Edge> result = graph.kruskal();
18 
19         System.out.println("kruskal算法最小生成树为");
20         for (Graph.Edge edge : result) {
21             System.out.println(edge);
22         }
23     }
24 }
25 
26 // 结果
27 [0, 6, 1, 5, -1, -1]
28 [6, 0, 5, -1, 3, -1]
29 [1, 5, 0, 5, 6, 4]
30 [5, -1, 5, 0, -1, 2]
31 [-1, 3, 6, -1, 0, 6]
32 [-1, -1, 4, 2, 6, 0]
33 kruskal算法最小生成树为
34 Edge{start='A', end='C', weight=1}
35 Edge{start='D', end='F', weight=2}
36 Edge{start='B', end='E', weight=3}
37 Edge{start='C', end='F', weight=4}
38 Edge{start='B', end='C', weight=5}
测试类

 

 

 未完成

posted @ 2021-01-27 14:08  Craftsman-L  阅读(88)  评论(0)  编辑  收藏  举报