逻辑公式相等的自动证明

1. 问题
有2个一阶逻辑公式G(a, b, c), H(a, b, c)，如何能够证明G == H，或者G != H
如：(A∧B) ∧ (A∨C) == B ∧ [A∨(A∧C)]

2. 常规解法
我们可以通过公式推导，将右边的公式转化为左边的
(A∧B) ∧ (A∨C)
= A∧B∧(A∨C)
= B ∧ [A∧(A∨C)]
= B ∧ [（A∧A)∨(A∧C)]
= B ∧ [A∨(A∧C)]

常规解法具有不确定性，带有尝试的味道在里面，需要人的经验和感觉，不适合计算机进行推导

3. 计算机的推导
可以遍历左右公式的真值表，如果真值表全相等，则他们是相等的
进一步，我们知道极小项就是公式真值表所有表达中的一项
如：
(A∧B∧C） == 1 的真值表解释为(1, 1, 1)
(A∧B∧~C）== 1 的真值表解释为(1, 1, 0)

而且书中已证明，2个公式的析取主范式相等，则2个公式相等，那么计算机可否自动求出任一一个公式的析取主范式呢？
我们来看看，析取主范式中的极小项和真值表的对应关系
上面的式子我们可以看出，公式为真时，只有唯一的一个极小项对应的真值表解释为True，所以是不是可以理解为一个公式的所有的极小项必须满足的条件：
公式在真值表中某一个解释为True时，其对应的极小项就是该析取主范式中的一项，如：
当A = 1, B = 1， C = 1时，I[(A∧B) ∧ (A∨C)] = 1
所以，可以说(A∧B∧C)就是该公式的一个极小项

G(a, b, c) = (X0_a ∧ X0_b ∧ X0_c) ∨ (X1_a ∧ X1_b ∧ X1_c) ∨ (X2_a ∧ X2_b ∧ X2_c) ∨ ... ∨ (Xn_a ∧ Xn_b ∧ Xn_c)...    (Xn = X 或 ~X)
因为G(a, b, c)是用"∨"连接各个极小项的，所以要G(a, b, c) = 1，则必有一组极小项(Xn_a ∧ Xn_b ∧ Xn_c) = 1
那么当G(a, b, c) = 1，其他的(Xi_a ∧ Xi_b ∧ Xi_c) = 0的极小项是否也是该公式析取主范式的一项呢？
假设上述(Xi_a ∧ Xi_b ∧ Xi_c) = 0时，满足G(a, b, c) = 1，且(Xi_a ∧ Xi_b ∧ Xi_c)是G(a, b, c)析取主范式中的一个极小项
我们知道任何一个极小项在真值表中都有唯一的一个解释为True
∴ 当(Xi_a ∧ Xi_b ∧ Xi_c) = 1时，则G(a, b, c) = 0，否则就和假设相矛盾
∵ (Xi_a ∧ Xi_b ∧ Xi_c) 为析取主范式中的一项，且值为 1，因为析取主范式只要有一个极小项为1，则 G(a, b, c) = 1，与假设又相矛盾
∴ (Xi_a ∧ Xi_b ∧ Xi_c)必定不能为G(a, b, c)的极小项
∴ 求公式G(a, b, c)的析取主范式，只要遍历其真值表，然后写出G(a, b, c) = 1的真值表的极小项即可

4. 算法实现（为了简单实现，不对公式进行语法解析，使用了python，且只求3个原子的公式的析取主范式，注意只能用“()”不能使用”[]”）

从计算机的自动推导结果可以看出，(A∧B) ∧ (A∨C) 和 B ∧ [A∨(A∧C)]的析取主范式是一样的，所以这2个公式相等，有兴趣的朋友可以去试试其他的公式证明

#!/usr/bin/env python
#coding=utf8

import sys

g_standardFormula = "";
g_formula = "";

def CheckFormulaValue(A, B, C):
    global g_formula;
    formulaResult = eval(g_formula);
    #formulaResult = (A and B) and (A or C);
    return formulaResult;

def FormatMixFormula(trueArray):
    global g_standardFormula;
    beginChar = 65;     #begin with A
    mixFormula = "";
    for item in trueArray:
        if 1 == item:
            mixFormula += str(chr(beginChar)) + ' ∧ ';
        else:
            mixFormula += '~' + str(chr(beginChar)) + ' ∧ ';
        beginChar += 1;
    
    #去掉尾部多余的' ∧'
    #len()取特殊字符长度会将其长度计算为2，需要调整
    maxSize = len(mixFormula) - len(' ∧ ');
    mixFormula = mixFormula[0:maxSize];
    g_standardFormula += '(' + mixFormula + ') ∨ ';

#trueArray = {A, B, C}每个位当前的值
def ProveFormula(index, trueArray):
    #{A, B, C}每个位各有(0, 1)2个值，每次遍历这2个值，然后递归遍历下一个位
    #当index超过最后一个位时，判断是否和公式相等,如果相等则给出结果
    if index >= len(trueArray):
        #当公式为'true'时，输出对应的极小项
        if CheckFormulaValue(trueArray[0], trueArray[1], trueArray[2]):
            FormatMixFormula(trueArray);
        return;

    trueArray[index] = 0;
    ProveFormula(index + 1, trueArray);
    trueArray[index] = 1;
    ProveFormula(index + 1, trueArray);



print u"Please input formula with 'A, B, C' and '∧, ∨, ~' : ";
reload(sys);
sys.setdefaultencoding('utf-8');
g_formula = raw_input();
g_formula = g_formula.decode('gbk');
g_formula = g_formula.replace('∧', ' and ');
g_formula = g_formula.replace('∨', ' or ');
g_formula = g_formula.replace('~', ' not ');

initTrueArray = [0, 0, 0];
ProveFormula(0, initTrueArray);
#去掉尾部多余的') ∨'
g_standardFormula = g_standardFormula[0:len(g_standardFormula) - len(' ∨ ')];
print "Mix formula is :", g_standardFormula.decode('utf-8');