集合的证明及相关习题

1、吸收律证明（A∪(A∩B) = A ）

文氏图：

注：三角形区域为 (A∩B)

证明：
∵A = A∩E                        //E为全集
∴A∪(A∩B) = (A∩E)∪(A∩B)
根据分配律倒推可知：
(A∩E)∪(A∩B) = A∩(B∪E)
∵B∪E = E
∴A∩(B∪E) = A∩E = A

点评：证明过程引入全集E，利用恒等律 A = A∩E，A∪E = E 的性质来增加或消去元素，从而拼凑成对应的定律

2、习题1（刘叙华—离散数学）
证明：A∪(B-A) = A∪B

文氏图：

证明：
∵B-A = B∩~A
∴A∪(B-A) = A∪(B∩~A)
根据分配律：
A∪(B∩~A) = (A∪B)∩(A∪~A)
               = (A∪B)∩E
               = A∪B   
点评：证明过程引入全集E，利用 A∪~A = E 的性质来消去元素

3、习题2（刘叙华—离散数学）
证明：如 A∪B = A∪C,A∩B = A∩C
      则 B = C
      即 如果任意一个集合 X 和同一个集合 A 的交集和并集都相等，则该集合 X 是同一个集合

证明：
∵B = B∩(A∪B)
∵A∪B = A∪C
∴B = B∩(A∪C)
根据分配律：
B∩(A∪C) = (B∩A)∪(B∩C)
∵A∩B = A∩C
∴(B∩A)∪(B∩C) = (A∩C)∪(B∩C)
                    = C∩(A∪B)
∵A∪B = A∪C
∴C∩(A∪B) = C∩(A∪C)
根据吸收率倒推：
C∩(A∪C) = C
∴B = C
点评：证明过程充分运用给出的已知条件，将B从扩展式中消除

4、习题3（刘叙华—离散数学）
证明：A∩(B-C) = (A∩B)-(A∩C)
      即在此形势下（也仅在此情况下），减法也符合分配律

文氏图：

注：图1中三角形区域为 (B-C)，草绿色区域为 A，三角形和草绿色底色重叠区域即为他们的交集

     图2中三角形区域为 (A∩C)，草绿色区域为 (A∩B)，草绿色区域中扣除三角形区域后剩下的部分即为 (A∩B)-(A∩C)

证明：
(A∩B)-(A∩C) = (A∩B)∩～(A∩C)
根据De.Morgan定律：
～(A∩C) = ～A∪～C
∴(A∩B)∩～(A∩C) = (A∩B)∩(～A∪～C)
根据交换律：
(A∩B)∩(～A∪～C) = A∩B∩(～A∪～C)
                        = B∩A∩(～A∪～C)
                        = B∩(A∩(～A∪～C))
                        = B∩((A∩～A)∪(A∩～C))
∵(A∩～A) = Φ
∴B∩((A∩～A)∪(A∩～C)) = B∩(Φ∪(A∩～C))
                                = B∩(A∩～C)
根据交换律：
B∩(A∩～C) = B∩A∩～C
               = A∩B∩～C
               = A∩(B∩～C)
               = A∩(B-C)

点评：此题的证明过程主要是要充分运用交换律，将相关的元素交换到一起后进行运算，同时此题正向推导困难（因为消除比增加容易，长式子缩短容易），故在正向推导受阻的情况下，可以尝试反向推导

5、习题3（刘叙华—离散数学）
证明：(A∪B)-(A∩B) = (B-A)∪(A-B)
      即2个集合的并集减去其交集 = 2个集合互减的并集

文氏图：

注：图1中三角形区域为 (A∩B)，草绿色区域为 (A∪B)，草绿色区域中扣除三角形区域后剩下的部分即为 (A∪B)-(A∩B)

     图2中三角形区域为 (B-A)，草绿色区域为 (A-B)，草绿色区域和三角形区域即为 (B-A)∪(A-B)

证明：
(A∪B)-(A∩B) = (A∪B)∩～(A∩B)
根据De.Morgan定律：
～(A∩B) = ～A∪～B
∴(A∪B)∩～(A∩B) = (A∪B)∩(～A∪～B)
将(A∪B)当作一个整体，利用分配律可知：
(A∪B)∩(～A∪～B) = ((A∪B)∩～A)∪((A∪B)∩～B)
再次利用分配律：
((A∪B)∩～A)∪((A∪B)∩～B) = ((A∩～A)∪(B∩～A))∪((A∩～B)∪(B∩～B))
                                    = (Φ∪(B∩～A))∪((A∩～B)∪(Φ))
                                    = (Φ∪(B∩～A))∪((A∩～B)∪(Φ))
                                    = (B∩～A)∪(A∩～B)
                                    = (B-A)∪(A-B)

点评：此题的证明过程利用了将分式 A∪B 当作整体代入对应公式进行运算，然后利用 A∩～A= Φ 做消除运算