雑用 2

平面旋转。应该是比较好理解的版本。

我们对一个平面（逆时针）旋转 \(\beta\) 度，无非就是对每一个有意义的向量 \(\boldsymbol a = (x, y)\) 进行旋转。不妨考察单位向量 \(\boldsymbol e = (\cos \alpha, \sin \alpha)\)，令 \(\boldsymbol a = k \cdot \boldsymbol e\)，则由三角恒等变换得 \(\boldsymbol e' = (\cos(\alpha + \beta), \sin (\alpha + \beta)) = (\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta, \sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha)\)，则 \(\boldsymbol a' = k \cdot e'\)。

令 \(\beta = \frac{\pi}{4}\) 再把 \(k\) 除以 \(\sqrt 2\) 就得到切比雪夫距离转曼哈顿距离的式子了。