Solution -「CF 1025D」Recovering BST

Description

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给定一个升序序列，问是否存在一种方法使得这个升序序列构成一棵 BST 并使一边相连的两点点权互质。

Solution

根据 BST 的性质可知对于一棵以 \(u\) 为根的子树 \(\text{subtree}(u)\) 对应原序列中的一段区间，于是对于一个区间 \([l,r]\)，如果我们选取 \(k\) 作为根，那么 \(\text{subtree}(u)\) 的形态就固定下来了。

设 \(f(i,j,k)\) 为区间 \([i,j]\) 中以 \(k\) 为根是否能够构成一棵 BST。

这不好，这很差，考虑怎么优化。

观察发现 \([l,r]\) 的父亲结点一定是 \(l-1\) 或 \(r+1\)，于是重新设 \(f(i,j,0\text{ or }1)\) 表示区间 \([i,j-1]\) 的父结点为 \(j\) 是否合法 / 区间 \([i+1,j]\) 的父结点为 \(i\) 是否合法。

转移即：

\[f(i-1,j,1)=f(i-1,j,1)\vee f(i,k,0)\wedge f(k,j,1)\wedge(\gcd(a_{i-1},a_{k})\neq1) \\ f(i,j+1,0)=f(i,j+1,0)\vee f(i,k,0)\wedge f(k,j,1)\wedge(\gcd(a_{j+1},a_{k})\neq1) \]

\(k\) 是区间 DP 的中间点。于是就可以做了，边界与答案显然。

#include<bits/stdc++.h>
#define f(i,j,k) (f[i][j][k])
int n,a[710];
bool f[710][710][2],flag[710][710];
int GCD(int one,int ano)
{
	if(ano==0)	return one;
	else	return GCD(ano,one%ano);
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;++i)	scanf("%d",&a[i]);
	for(int i=1;i<=n;++i)	f(i,i,1)=f(i,i,0)=1;
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		flag[i][0]=1;
		for(int j=i;j<=n;++j)
		{
			flag[i][j]=flag[j][i]=(GCD(a[i],a[j])!=1);
			flag[0][j]=1;
		}
	}
	for(int i=n;i;--i)
	{
		for(int j=i;j<=n;++j)
		{
			for(int k=i;k<=j;++k)
			{
				f(i-1,j,1)|=(f(i,k,0)&f(k,j,1)&flag[i-1][k]);
				f(i,j+1,0)|=(f(i,k,0)&f(k,j,1)&flag[j+1][k]);
			}
		}
	}
	printf((f(1,n,0)|f(1,n,1))?"Yes\n":"No\n");
	return 0;
}