Note -「Polynomial」

Part. 1 FFT

Part. 1-1 Main

对于一个 \(n\) 次多项式 \(F(x)=\sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{i}\)，在平面直角坐标系中可以由 \(n+1\) 个点唯一确定。

考虑带什么样的 \(x\) 进去，能够快速计算 \(x^{n}\) 并且有一定的性质，DFT 采用的是复单位根。

那么 DFT 就是把 \(F(x)\) 转为点值表示。我们来推式子：

先令 \(L(x)=\sum_{i=0}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor-1}a_{2i}x^{2i},R(x)=\sum_{i=0}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor-1}a_{2i+1}x^{2i}\)。

\[\begin{aligned} F(\omega_{n}^{k})&=L((\omega_{n}^{k})^{2})+\omega_{n}^{k}R((\omega_{n}^{k})^{2}) \\ &=L(\omega_{n}^{2k})+\omega_{n}^{k}R(\omega_{n}^{2k}) \\ &=L(\omega_{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}^{k})+\omega_{n}^{k}R(\omega_{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}^{2k}) \\ \end{aligned} \]

同时：

\[\begin{aligned} F(\omega_{n}^{k+\lfloor\frac{n}{2}\rfloor})&=L(\omega_{n}^{2k})+\omega_{n}^{k+\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}R(\omega_{n}^{2k}) \\ &=L(\omega_{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}^{k})-\omega_{n}^{k}R(\omega_{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}^{k}) \end{aligned} \]

于是你直接分治，这是 DFT，注意要把多项式长度调整为 \(2\) 的幂。

递归常数大，考虑迭代。你会发现分治后的序列与原序列的关系是下标的二进制反转，然后就完了。

void fft(Poly &f,int op)
{
	for(int i=0;i<lim;++i)	if(i<rev[i])	swap(f[i],f[rev[i]]);
	for(int len=2;len<=lim;len<<=1)
	{
		comp bas(cos(2*bh_pi/len),op*sin(2*bh_pi/len));
		for(int fr=0;fr<lim;fr+=len)
		{
			comp now(1,0);
			for(int ba=fr;ba<fr+(len>>1);++ba,now*=bas)
			{
				comp tmp=now*f[ba+(len>>1)];
				f[ba+(len>>1)]=f[ba]-tmp;
				f[ba]+=tmp;
			}
		}
	}
	if(op==-1)	for(int i=0;i<lim;++i)	f[i]/=lim;
}