Solution -「BZOJ 3771」Triple

Description

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给你一个序列，你每次可以取 \(1\sim3\) 个数然后计算和，问你对于每一种和，方案数是多少。

Solution

设一个 OGF \(A(x)=\sum_{i=0}^{+\infty}a_{i}x^{i}\)，指数为物品的价值，\(a_{i}\) 为出现的次数。

也就是说，\(\sum a_{i}\) 就是选个一个数的答案。

再来考虑选两个数。\(A^{2}(x)\) 显然会有重复。

重复有两种情况，第一种是 \(i\times j\) 和 \(j\times i\)，这个简单，除个 \(2!\) 即可。

还有就是 \(i\times i\) 的情况，那么再设一个表示一个斧头选两次的 OGF \(B(x)=\sum_{i=0}^{+\infty}b_{i}x^{2i}\)。

那么选两个数的答案为 \(\frac{A^{2}(x)-B(x)}{2!}\)。

再来考虑选三个数，基本同理地设 \(C(x)=\sum_{i=0}^{+\infty}c_{i}x^{3i}\)。

然后选三个数的答案为 \(\frac{A^{3}(x)-3A(x)B(x)+2C(x)}{3!}\)，这个容斥就是考虑 \(\sf aab,baa\) 和 \(\sf abc,acb\) 情况的重复。

做完了。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace Poly
{
	typedef complex<double> comp;
	typedef vector<complex<double> > poly;
	#define len(x) (int((x).size()))
	const double bh_pi=acos(-1),eps=1e-3;
	int lim,rev[500010];
	void fft(poly &f,int op)
	{
		for(int i=0;i<lim;++i)	if(i<rev[i])	swap(f[i],f[rev[i]]);
		for(int len=2;len<=lim;len<<=1)
		{
			comp bas(cos(2*bh_pi/len),op*sin(2*bh_pi/len));
			for(int fr=0;fr<lim;fr+=len)
			{
				comp now(1,0);
				for(int ba=fr;ba<fr+(len>>1);++ba,now*=bas)
				{
					comp tmp=now*f[ba+(len>>1)];
					f[ba+(len>>1)]=f[ba]-tmp;
					f[ba]+=tmp;
				}
			}
		}
		if(op==-1)	for(int i=0;i<lim;++i)	f[i]/=lim;
	}
	poly mulPoly(poly f,poly g)
	{
		int n=len(f)+len(g)-1;
		for(lim=1;lim<n;lim<<=1);
		for(int i=0;i<lim;++i)	rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)?(lim>>1):0);
		f.resize(lim),g.resize(lim);
		fft(f,1),fft(g,1);
		for(int i=0;i<lim;++i)	f[i]*=g[i];
		fft(f,-1),f.resize(n);
		return f;
	}
	poly addPoly(poly f,poly g)
	{
		int n=max(len(f),len(g));
		f.resize(n),g.resize(n);
		for(int i=0;i<n;++i)	f[i]+=g[i];
		return f;
	}
	poly decPoly(poly f,poly g)
	{
		int n=max(len(f),len(g));
		f.resize(n),g.resize(n);
		for(int i=0;i<n;++i)	f[i]-=g[i];
		return f;
	}
	poly mulPoly(poly f,double x)
	{
		for(int i=0;i<len(f);++i)	f[i]*=x;
		return f;
	}
	poly divPoly(poly f,double x)
	{
		for(int i=0;i<len(f);++i)	f[i]/=x;
		return f;
	}
}using namespace Poly;
int main()
{
	int waste,x;
	scanf("%d",&waste);
	poly one,two,thr;
	while(waste--)
	{
		scanf("%d",&x);
		if(x>=len(one))	one.resize(x+1);
		if((x<<1)>=len(two))	two.resize(x<<1|1);
		if((x<<1)+x>=len(thr))	thr.resize((x<<1)+x+1);
		one[x]=comp(one[x].real()+1,0);
		two[x<<1]=comp(two[x<<1].real()+1,0);
		thr[(x<<1)+x]=comp(thr[(x<<1)+x].real()+1,0);
	}
	poly ans=addPoly(addPoly(one,divPoly(decPoly(mulPoly(one,one),two),2)),divPoly(addPoly(decPoly(mulPoly(mulPoly(one,one),one),mulPoly(mulPoly(one,two),3)),mulPoly(thr,2)),6));
	for(int i=0;i<len(ans);++i)	if(int(ans[i].real()+eps))	printf("%d %d\n",i,int(ans[i].real()+eps));
	return 0;
}