Record - Stirling Number / FK. & SK.

Part. 1 Stirling Number / FK.

Def. 定义 \(\begin{bmatrix}n \\ m\end{bmatrix}\) 表示将 \(n\) 个元素分成 \(m\) 个环的方案数。

递推式为

\[\begin{bmatrix}n \\ m\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}n-1 \\ m-1\end{bmatrix}+(n-1)\begin{bmatrix}n-1 \\ m\end{bmatrix} \]

即考虑已经放好的 \(n-1\) 个数，第一种情况是自成环即 \(\begin{bmatrix}n-1 \\ m-1\end{bmatrix}\)，第二种情况是放在某一个环内，可以放在任意一个已经放好的数前，即 \((n-1)\begin{bmatrix}n-1 \\ m\end{bmatrix}\)。

边界为：

\[\begin{bmatrix}n \\ 0\end{bmatrix}=[n=0] \]

一个性质：

\[n!=\sum_{i=0}^{n}\begin{bmatrix}n \\ i\end{bmatrix} \]

多项式形式：\(\begin{bmatrix}n \\ m\end{bmatrix}\) 为 \(f_{n}(x)=\prod_{i=0}^{n-1}(x+i)\) 的 \(k\) 次项系数。

Part. 2 Stirling Number / SK.

Def. 定义 \(\begin{Bmatrix}n \\ m\end{Bmatrix}\) 表示将 \(n\) 个不同的球放进 \(m\) 个相同的盒子的方案数。

递推式为

\[\begin{Bmatrix}n \\ m\end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix}n-1 \\ m-1\end{Bmatrix}+m\begin{Bmatrix}n-1 \\ m\end{Bmatrix} \]

意义即前 \(n-1\) 个球放进了 \(m-1\) 的盒子里，\(n\) 就只有一种方法，如果前 \(n-1\) 个球放进了 \(m\) 个盒子，那么这个球就有 \(m\) 种放法。

容斥一下可以得到通项公式（背吧）

\[\begin{Bmatrix}n \\ m\end{Bmatrix}=\frac{1}{m!}\sum_{i=0}^{m}\left((-1)^{i}{m\choose i}(m-i)^{n}\right) \]

拆完组合数可以卷积 \(\texttt{NTT}\) 做，不过咱多项式学得废，就不整了。