背包问题
以集合的角度思考背包问题
当面对dp问题，首先考虑两个内容：（1）状态表示（2）状态计算
（1）状态表示
- 集合：f(i)(j) 表示一个集合，这个集合包含不同的选法。
- 条件：这个集合表示，选前 i 件物品，且总体积不大于 j 的选法。
- 属性：f(i)(j) 的值代表 max？还是min？还是某个数x的个数？等等...
（2）状态计算
状态计算就是将集合拆分，拆成多个子集合，每个子集合用不同的式子表达。
切分的依据是：“寻找最后一个不同点”
01背包
特点：每件物品只能使用一次。
用集合的角度看待01背包问题：
（1）状态表示：
假设物品共有N件、物品总体积为V。那么 f(i)(j) {0<i<=N,0<j<=V} 表示：
-
集合：从背包中选前 i 件物品，且物品总体积小于 j 的选法集合。
例如 f(4)(7) 表示选前4件且总体积不大于7的各种选法。 -
属性：所有选法对应价值中的最大值。
例如 f(4)(7) 的各种选法中，哪个价值最大。
（2）状态计算：
通过是否包含第 i 件，将集合 f(i)(j) 拆分成两部分。最终 f(i)(j) = max(集合1,集合2)
-
集合1：选的物品不包含第 i 件（或者说选前 i - 1 件），且体积不大于 j
表达式：f(i - 1)(j) -
集合2：选的物品包含第 i 件，且体积不大于 j
难点：如何表示包含第i件？ 曲线救国，假设现在已经装有第 i 件，然后把第 i 件拿出，此时背包最大价值为f(i - 1)(j - V(i) )，然后再将第 i 件装回，则包含第 i 件的背包最大价值为f(i - 1)(j - V(i) ) + W(i)
最终得出：f(i)(j) = max( f(i - 1)(j), f(i - 1)(j - V(i) ) + W(i) )
优化为一维数组
为什么可以优化？
若将 f(i)(j) 看作二维数组，那么 i 只和 i - 1 有关，即下一行由上一行得出。而 j 也只和上一行的 j 和 j-V(i) 有关，即下一行的每一项，由上一行同位置左侧的值得出。
