二分图
关于二分图
二分图又称作二部图，是图论中的一种特殊模型。 设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B)，则称图G为一个二分图。
通过百度百科定义可以理解为，一个图中的全部节点可以分为两个集合，集合内部节点无连通，集合与集合之间的点可以任意连通。
当图中有环时，环的边数为偶数个才能构造出二分图，奇数个边无法成为连通图。比如：
当图中无环时，显然可以构造出二分图。
二分图一般有两类问题，判定二分图和最大匹配数量，其中常用染色法判定一个图是否为二分图，时间复杂度为O(m + n)，求最大匹配数量使用匈牙利算法，时间复杂度为O(nm)。
染色法判定二分图
利用节点被划分为两个集合的特性，我们可以使用黑色和白色对节点染色，对应黑色节点集合和白色节点集合。为满足二分图性质，一条边两头的节点必须是不同颜色（集合内部不能有连通）。
因此当我们确定一个点的颜色后，该点所属的连通块的所有节点颜色都将被确定，当出现回路，染色发生冲突（例如一个白色节点需要被染为黑色），表示该图不是二分图。
例题：https://www.acwing.com/problem/content/862/
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 100010, M = 200010;
int h[N], e[M], ne[M], idx; // 稀疏图使用邻接矩阵存储
int color[N]; // 0表示未染色，1表示染白色，2表示染黑色
int n, m;
bool dfs(int n, int c) {
// 回路节点染色冲突
if (color[n] == 3 - c) return false; // 3-c: 黑色边白色，白色变黑色
// 连通块染色
if (color[n] == 0) {
color[n] = c;
for (int i = h[n]; i != -1; i = ne[i]) {
int j = e[i];
if (!dfs(j, 3 - c)) return false;
}
}
// 允许回路节点染色相同
return true;
}
void add(int a, int b) {
e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}
int main() {
scanf("%d%d", &n, &m);
memset(h, -1, sizeof h);
while (m -- ) {
int a, b;
scanf("%d%d", &a, &b);
add(a, b), add(b, a);
}
bool res = true;
// 对所有节点及其连通块染色
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) {
if (!color[i]) {
if (!dfs(i, 1)) res = false; // 当某连通块染色失败，表示不是二分图
}
}
if (res) printf("Yes");
else printf("No");
return 0;
}
二分图的最大分配
在二分图中，如果左边节点和右边节点一一对应，则可认为成功匹配一对，那么二分图中最多能有多少对节点呢？这里用到了匈牙利算法，其核心思想是“想尽一切办法让别的节点让出”，下面通过示例演示：
图中表示一个二分图，我们可以假设左边集合是“求偶者”，右边集合是“被求偶者”。求偶的前提是必须相连，并且只能一一配对，不能“脚踏两只船”。
- 节点1只能和节点5配对。
- 节点2虽然心里既喜欢6又喜欢7，但是现实生活只能和其中一个配对，我们假设2和6牵手成功。
- 节点3只喜欢6，但是6已经有所属。此时节点3践行匈牙利算法的思想，想尽一切办法和6在一起，于是3通过6找到6所属的2，发现2还喜欢7，于是和2说：“我只喜欢6，请你让给我吧！”，于是2放弃6，和7重新配对。这样节点3和2都可以成功配对。
- 节点4只喜欢7，但是7已经和2配对。节点4也不愿放弃，通过7找到求偶者2，希望2可以把7让给4。2表示可以，于是2找到了6，发现6已经和3配对，于是2找到3，希望把6让给2，但是3表示自己只喜欢6，无法让给你。于是3通知2不可以，2通知4不可以，因此4无法成功配对。
每个节点都想尽一切办法配对成功，哪怕去拆散原配。当节点要被拆散，如果没有其他选择，则坚持不被拆散，如果有“备胎”则放弃原配，“成他人之美”。比喻可能不太恰当hhh，总之就是资源尽量平衡就是了～
例题：https://www.acwing.com/problem/content/863/
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 510, M = 100010;
int h[N], e[M], ne[M], idx;
int match[N]; // match数组存放“被求偶”节点配对的节点
bool st[N];
int n1, n2, m;
// 给节点a找到配对节点
bool find(int a) {
for (int i = h[a]; i != -1; i = ne[i]) {
int j = e[i];
if (!st[j]) {
// 尝试过的节点打上标记，防止重复尝试
st[j] = true;
// 如果对方没有原配或者原配能让出，则可以配对成功
if (match[j] == 0 || find(match[j])) {
match[j] = a;
return true;
}
}
}
return false;
}
void add(int a, int b) {
e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}
int main() {
scanf("%d%d%d", &n1, &n2, &m);
memset(h, -1, sizeof h);
while (m -- ) {
int a, b;
scanf("%d%d", &a, &b);
add(a, b); // 只遍历“求偶者”集合，因此只需要一条有向边
}
int res = 0;
for (int i = 1; i <= n1; i ++ ) {
memset(st, false, sizeof st); // 重置
if (find(i)) res ++ ;
}
printf("%d", res);
return 0;
}
