前缀和与差分

一维前缀和

前缀和一般用于预处理一个数组，然后在O(1)时间内获取该数组[l, r]区间内的和。对于数组a，有它的前缀和数组b，此时b[i] = b[i - 1] + a[i]。

二维前缀和

拓展到二维，假设我们有数组a的前缀和数组b，那么我们可以在O(1)时间内求出数组a中某一个矩阵的和，该矩阵左上角为[x1, y1]，右下角为[x2, y2]。

求矩阵和：b[x2][y2] - b[x1 - 1][y2] - b[x2][y1 - 1] + b[x1 - 1][y1 - 1]

求数组b：b[i][j] = b[i - 1][j] + b[i][j - 1] - b[i - 1][j - 1] + a[i][j]

差分

假设有数组a，我们一定可以求出一个数组b，该数组b的前缀和数组等于a。因为对于任意一个数组c，都可以求出c的前缀和，那么就可以反推。我们把数组a叫做数组b的前缀和数组，数组b叫数组a的差分数组。

假设题目，对于数组a，使数组a的[l, r]区间内的值加c，并重复该操作n次，最后求数组a是多少。对于一次的区间加数，可以直接遍历完成，但是n次的区间加数，每次都遍历一遍，复杂度为O(n * (r - l + 1))。

假设我们有差分数组b（怎么得到差分数组一会再讨论），使得b[l] + c，那么b的前缀和数组，l后边的数都会加c；使得b[r + 1] - c，那么b的前缀和数组，r + 1后边的数都会减c。综合两种操作，可以使b的前缀和数组中[l, r]区间内的值加c。

我们称该操作为insert操作：

void insert(int l, int r, int c) {
    b[l] += c;
    b[r + 1] -= c;
}

所以只需要重复对数组b操作，最终再根据求出数组b的前缀和数组，就可以在O(n + len(b))时间内求出结果。

那如何求出差分数组b？ 假设数组c是数组d的差分数组，对d的某个区间加x，可以通过insert c完成，那么更新完c和d后，仍然满足c是d的差分数组，d是c的前缀和数组。

根据这一性质，我们把原来数组a每一项看成是0，对每一项进行加a[i]操作，变成现在的数组a，这个过程中数组b也进行insert操作，最终b仍是是现在a的差分数组。即：

for (int i = 1; i <= n; i++) {
    insert(i, i, a[i]); // 构造差分数组b
}

二维差分

对于矩阵a中的某一块矩阵加c（这块矩阵左上角为x1, y1；右下角为x2, y2），也可以通过其差分矩阵b进行insert完成。

同样假设已有差分矩阵b，insert操作为：

void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c) {
    b[x1][y1] += c;
    b[x1][y2 + 1] -= c;
    b[x2 + 1][y1] -= c;
    b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}

那么得出差分矩阵b也就很简单了，进行insert(i, j, i, j, a[i])即可。这一小块矩阵是1*1的，左上角和右下角相同。

要点：

二维的理解可以从面积上考虑，二维前缀：该点为左上角这块面积的和，二维差分：该点+c，影响右下角的前缀和。

写代码时从下标1开始。