组合数学

加法原理

\(n\)类元素，第\(i\)类有\(c_i\)个元素，选一个元素的方案数。

\[\sum_{i=1}^{n}c_i \]

乘法原理

\(n\)组元素，第\(i\)组有\(c_i\)个元素，每组选一个元素的方案数。

\[\prod_{i=1}^{n}c_i \]

排列数

从\(n\)个不同元素中，任选\(m\)个进行排列的方案数。

\[A_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)！} \]

组合数

从\(n\)个不同元素中，任选\(m\)个的方案数。

\[C_n^m=\frac{A_m^n}{m!}=\frac{n!}{m!(n-m)!} \]

加法原理得，方案数为 \(不取第n个的方案数+取第n的方案数\)

\[C_n^m=C_{n-1}^m+C_{n-1}^{m-1} \]

计算\(C_n^m\mod p\)

·\(x,y\le 1000\)

直接递推预处理。

·\(x,y\le 10^5\)，\(p\)是质数

预处理\(1!,2!,\dots,100000!\)

然后直接套公式，取模使用逆元。

·\(x,y\le 10^{18}\)，\(p\)是质数，\(p\le 10^5\)

Lucas定理

\[C_n^m \% p= C_{\lfloor \frac{n}{p} \rfloor}^{\lfloor \frac{m}{p} \rfloor}C_{n \% p}^{m \% p}\% p \]

套一下就可以了。

·\(x,y,p\le 10^5\)

线性筛后对\(1,2,\dots,n\)分解质因数，计算每种质因子出现的次数，然后把对所有质因数求个答案，最后乘起来就OK了。

·\(x,y\le 10^9,p^c\le10^5\)，对\(p^c\)取模

鸽了。

插板法

\(x_1+x_2+\dots+x_n=m\)的正整数解的个数（有序）。

把\(m\)看成\(m\)个\(1\)，中间有\(m-1\)个空隙，分成\(n\)个就是插\(n-1\)块板。

\[C_{m-1}^{n-1} \]

长度为\(n\)，值域为\([1,m]\)的不下降子序列个数

设序列为\(a_1,a_2,\dots,a_n\)

由题意得，\(a_1\le a_2\le\dots\le a_n\)

可以做差分数组\(c\)，\(c_i=a_i-a_{i-1}\)

转化后题目变为

\(c_1+c_2+\dots+c_n\le m\)的正整数解的个数（有序）。

\[\sum_{k=0}^{m-1}C_{k-1}^{n-1}=C_m^n \]

二项式定理

\[(x+y)^n=\sum_{i=0}^nC_n^ix^iy^{n-i} \]

感性证明。

\((x+y)^n\)可以看作\(n\)个\((x+y)\)相乘。

枚举\(x\)出现了几次。取了\(i\)个\(x\)，就要取\(n-i\)个\(y\)。

乘上组合数\(C_n^i\)就是有多少种选取\(i\)个\(x\)的方式。

算这玩意:

\[\sum_{i=0}^nC_n^i(-1)^i \]

直接套二项式定理。

上面这东西就是

\[(1-1)^n=0 \]

注意\(n=0\)时答案为\(1\)。

从\(n\)个人中选出不超过\(k\)个人，再在选出的人中选出一些人成为队员，再在队员中选出一个队长，求不同的方案数，答案\(\mod8388608\)。

有\(T\)组询问，\(T\le10^4,k\le n\le10^5\)

暴力的式子：

\[\sum_{i=1}^kC_n^i\sum_{j=1}^iC_i^jj \]

先优化下后面：

\[\sum_{j=1}^iC_i^jj \\=\sum_{j=1}^i\frac{i!}{j!(i-j)!}j \\=\sum_{j=1}^i\frac{i!}{(j-1)!(i-j)!} \\=\sum_{j=1}^i\frac{(i-1)!}{(j-1)!(i-j)!i} \\=\sum_{j=1}^iC_{i-1}^{j-1}i \\=i\sum_{j=1}^iC_{i-1}^{j-1} \\=i\sum_{j=0}^{i-1}C_{i-1}^{j} \\=i\sum_{j=1}^iC_{i-1}^{j-1}1^j1^{i-j-1} \\=(1+1)^{i-1}=2^{i-1} \]

带回去：

\[\sum_{i=1}^kC_n^i2^{i-1}i \]

因为模数\(8288608=2^{23}\)，所以直接枚举，\(i\)超过\(23\)就不枚举。

在一个\(n\)维无限空间中，一开始原点处有一个细胞。 每秒中所有原有细胞都会消亡，并且都在与其曼哈顿距离恰为\(1\)的所有位置新增一个细胞。求\(T\)秒后，原点处会有多少细胞。

\(Q\)组询问。\(Q\le20000,n\le100,T\le200\)

问题等价于求有多少回到原点的长度为\(T\)的路径。

把每一维分开考虑，设\(f_{i,j}\)为\(i\)个维度，长度为\(2j\)的回到原点路径条数。

考虑转移。

枚举这个维度的步数\(2 k\)，从\(f_{i-1,j-k}\)转移。

总共有\(2 j\)步，从\(2j\)里选\(2k\)步的方案数为\(C_{2j}^{2k}\)

从\(2k\)步里选\(k\)步往左，另外\(k\)步往右的方案数为\(C_{2k}^k\)

可得转移方程

\[f_{i,j}=f_{i-1,j-k}C_{2j}^{2k}C_{2k}{k} \]