算法 快速幂

1.整数快速幂

计算 a^p  

a ^ p =a ^ ( k * d + c ) = ( a ^ k) ^ d * a ^ c;

e.g. 2 ^ 5 = ( 2 ^ 2 ) ^ 2 * 2 ^ 1 计算次数减少

对应p的二进制位，若该二进制位为1， ans乘上该位的res幂次，每二进制位乘上该位幂次 res*=res

//整数快速幂 计算a^p
ll qpow(ll a, ll p)
{
    ll ans=1, res=a;
    while(p)
    {
        if(p&1)
        {
            ans*=res; //p该二进制位为1 乘上幂次
        }
        res*=res; // 二进制位幂次相乘
        p>>=1;
    }
    return ans;
}

2.矩阵快速幂

矩阵a，b相乘要满足条件：a的行数==b的列数

类似整数快速幂 把整数相乘替换乘矩阵相乘

//矩阵快速幂

struct Mat
{
    ll x[N][N];
};
Mat c;
ll n;

Mat multi(Mat a, Mat b)
{
    Mat tmp;
    mem(tmp.x);
    fo(i,n)
        fo(j,n)
            fo(k,n)
            tmp.x[i][j]+=a.x[i][k]*b.x[k][j];
    return tmp;
}

Mat m_qpow(Mat a, ll p)
{
    //整数乘法替换成矩阵乘法
    fo(i,n) c.x[i][i]=1;
    Mat ans=c, res=a;
    while(p)
    {
        if(p&1)
        {
            ans=multi(ans,res);
        }
        res=multi(res,res);
        p>>=1;
    }
    return ans;
}