条件随机场入门（四） 条件随机场的训练
本节讨论给定训练数据集估计条件随机场模型参数的问题，即条件随机场的学习问题。条件随机场模型实际上是定义在时序数据上的对数线形模型，其学习方法包括极大似然估计和正则化的极大似然估计。具体的优化实现算法有改进的迭代尺度法IIS、梯度下降法以及 L-BFGS 算法。（crf++ 采用了 L-BFGS 优化的方式，所以着重看这种训练方法即可）
L-BFGS算法
对于条件随机场模型：
\[P_w(y|x) = \frac{\exp \left \{ \sum_{k=1}^K w_kf_k(x,y)\right \}}{ \sum_y \left \{ \exp \sum_{i=1}^n w_if_i(x,y)\right \}}\]
已知训练数据集，由此可知经验概率分布 $\widetilde{P}(X,Y)$ 可以通过极大化训练数据的对数似然函数来求模型参数，训练数据的对数似然函数为:
\[L(w) = L_{\widetilde{P}}(P_w) = \log \prod_{x,y}P_w(y|x)^{\widetilde{P}(x,y)} = \sum_{x,y}\widetilde{P}(x,y) \log P_w(y|x)\]
接下来给出 $\log$ 似然函数：
\begin{aligned}
L(w) &= \sum_{x,y} \widetilde{P}(x,y) \log P_w(y|x) \\
&= \sum_{x,y} \left \{ \widetilde{P}(x,y)\sum_{k=1}^Kw_kf_k(y,x)-\widetilde{P}(x,y) \log Z_w(x) \right \} \\
&= \sum_{x,y} \widetilde{P}(x,y) \sum_{k=1}^K w_kf_k(x,y) - \sum_x\widetilde{P}(x)\log\sum_y\exp\left \{ \sum_{i=1} ^nw_if_i(x,y)\right \}
\end{aligned}
对目标进行 MLE 等价于极小化以下优化目标函数：
\[\min_w f(w) = \sum_x\widetilde{P}(x) \log \sum_y \exp \left \{ \sum_{i=1}^n w_if_i(x,y)\right \} -\sum_{x,y}\widetilde{P}(x,y)\sum_{i=1}^nw_i f_i(x,y)\]
其一阶梯度函数在 BFGS 算法的过程中有用到，形式如下：
\[g(w) = \left \{ \frac{\partial f(w)}{\partial w_1},\frac{\partial f(w)}{\partial w_2},…,\frac{\partial f(w)}{\partial w_n} \right \}\]
具体其形式如下：
\[g(w) = \sum_{x,y}\widetilde{P}(x)P_w(y|x)f(x,y)-E_{\widetilde{P}}(f) = E_P(f) - E_{\widetilde{P}}(f)\]
可以看到，这是要使得真实期望与经验期望的差值尽可能小，也正是我们的初衷，还可以为目标函数加上一个权重为 $1/ \delta^2$ 的 $L_2$ 正则项(贝叶斯先验)，因此 $g(w)$ 的形式变为:
\[ g(w) = E_P(f) - E_{\widetilde{P}}(f) + \frac{w}{\delta^2}\]
总结一下便得到求解 CRF 的 BFGS 算法：
输入：特征函数 $f_1,f_2,…,f_n$；经验分布 $\widetilde{P}(X,Y)$；
输出：最优参数值 $\hat{w}$；最优模型 $P_{\hat{w}}(y|x)$。
(1) 选定初始点 $w^{(0)}$，取 $B_0$ 为正定对称矩阵，置 $k = 0$；
(2) 计算 $g_k = g(w^{(k)})$。若 $g_k = 0$ ,则停止计算；否则转(3)
(3) 由拟牛顿条件 $B_kp_k = –g_k$ 求出 $p_k$
(4) 线性搜索：求 $\lambda_k$ 使得：
\[f(w^{(k)} + \lambda_kp_k) = \min_{\lambda \ge 0}f(w^{(k)} + \lambda p_k)\]
(5) 置 $w^{(k+1)} = w^{(k)} + \lambda_k p_k$
(6) 计算 $g_{k+1} = g(w^{(k+1)})$，若 $g_k = 0$ ,则停止计算；否则，按下式求出 $B_{k+1}$:
\[B_{k+1} = B_k + \frac{y_ky_k^T}{y_k^T \delta_k} – \frac{B_k \delta_k \delta_k^TB_k}{\delta_k^TB_k\delta_k}\]
其中：\[y_k = g_{k+1}-g_k , \ \ \delta_k = w^{(k+1)} - w^{(k)}\]
(7) 置 k = k+1，转(3)
这便是 BFGS 求解 CRF 的过程。
