拉格朗日对偶
本文承接上一篇 约束优化方法之拉格朗日乘子法与KKT条件，将详解一些拉格朗日对偶的内容。都是一些在优化理论中比较简单的问题或者一些特例，复杂的没见过，但是简单的刚接触都感觉如洪水猛兽一般，所以当真是学海无涯。
在优化理论中，目标函数 $f(x)$ 会有多种形式：如果目标函数和约束条件都为变量 $x$ 的线性函数, 称该问题为线性规划； 如果目标函数为二次函数, 约束条件为线性函数, 称该最优化问题为二次规划; 如果目标函数或者约束条件均为非线性函数, 称该最优化问题为非线性规划。每个线性规划问题都有一个与之对应的对偶问题，对偶问题有非常良好的性质，以下列举几个：
- 对偶问题的对偶是原问题；
- 无论原始问题是否是凸的，对偶问题都是凸优化问题；
- 对偶问题可以给出原始问题一个下界；
- 当满足一定条件时，原始问题与对偶问题的解是完全等价的；
比如下边这个例子，虽然原始问题非凸，但是对偶问题是凸的：
\begin{aligned}
&\min_x \ \left ( x^4-50x^2+100x \right ) \\
&\ s.t.\ \ \ x \ge 4.5
\end{aligned}
原始问题
开始步入正题，首先给出不等式约束优化问题：
\begin{aligned}
&\min_x \ f(x) \\
&s.t. \ \ \ h_i(x) = 0 , \ i = 1,2,...,m \ \\
& \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ g_j(x) \le 0, \ j = 1,2,...,n
\end{aligned}
定义 Lagrangian 如下：
\[ L(x,\alpha,\beta) =f(x) + \sum_{i=1}^m \alpha_i h_i(x) + \sum_{j=1}^n\beta_jg_j(x) \]
根据以上 Lagrangian 便可以得到一个重要结论：
\[ f(x) =\max_{\alpha \beta; \beta_i\ge 0} L(x,\alpha,\beta) > L(x,\alpha,\beta) \tag{*}\]
(*) 式很容易验证，因为满足约束条件的 $x$ 会使得 $h_i(x)=0$ ，因此第二项消掉了；而 $g_j(x) \le 0$ ，并且使得 $\beta_j \ge 0$，因此会有 $\beta_j g_j(x) \le 0$ ，所以最大值只能在它们都取零的时候得到，这个时候就只剩下 $f(x)$ 了。反之如果有任意一个约束条件不满足，则只需令其相应的乘子 $\rightarrow +\infty$ ，则会得到 $L(x,\alpha,\beta) \rightarrow +\infty $，这样将导致问题无解，因此必须满足约束条件。经过这样一转变，约束都融合到了一起而得到如下的无约束的优化目标：
\[\min_x f(x) = \min_x \max_{\alpha,\beta; \beta_i\ge 0} L(x,\alpha,\beta) \]
对偶问题
上式与原优化目标等价，将之称作原始问题 , 将原始问题的解记做 $p^*$，如此便把带约束问题转化为了无约束的原始问题，其实只是一个形式上的重写，方便找到其对应的对偶问题，首先为对偶问题定义一个对偶函数（dual function） ：
\[ D(\alpha,\beta) = \min_x L(x,\alpha,\beta) \]
有了对偶函数就可给出对偶问题了，与原始问题的形式非常类似，只是把 min 和 max 交换了一下：
\[\max_{\alpha ,\beta; \beta_i\ge 0} \min_x L(x,\alpha,\beta) \]
然后定义对偶问题的最优解即关于 $\alpha \ \beta$ 的函数：
\[ d^* = \max_{\alpha,\beta; \beta_i\ge 0} D(\alpha,\beta)\]
对偶问题和原始问题的最优解并不相等，而是满足的如下关系：
\[d^* \le p^* \]
直观地，可以理解为最小的里最大的那个要比最大的中最小的那个要大。具体的证明过程如下：
证明在这里，首先这里的约束要全部满足，对偶问题与原始问题的关系如下：
\[ D(\alpha,\beta) =\min_x L(x,\alpha,\beta) \le L(x,\alpha,\beta) \le \max_{\alpha,\beta,\beta_i \ge 0}L(x,\alpha,\beta) =f(x)\]
即 $D(\alpha,\beta) \le f(x)$，所以自然而然可得:
\[d^*= \max_{\alpha,\beta;\beta_i \ge 0} D(\alpha,\beta) \le \min_x f(x) =p^* \]
即现在通过对偶性，为原始问题引入一个下界，$d^* \le p^*$ .
这个性质便叫做弱对偶性（weak duality），对于所有优化问题都成立，即使原始问题非凸。这里还有两个概念： $f(x) – D(\alpha,\beta)$ 叫做对偶间隔（duality gap）， $p^* –d^*$ 叫做最优对偶间隔（optimal duality gap）。
之前提过无论原始问题是什么形式，对偶问题总是一个凸优化的问题，这样对于那些难以求解的原始问题 （甚至是 NP 问题），均可以通过转化为偶问题，通过优化这个对偶问题来得到原始问题的一个下界， 与弱对偶性相对应的有一个强对偶性（strong duality） ，强对偶即满足：
\[d^* = p^*\]
强对偶是一个非常好的性质，因为在强对偶成立的情况下，可以通过求解对偶问题来得到原始问题的解，在 SVM 中就是这样做的。当然并不是所有的对偶问题都满足强对偶性 ，在 SVM 中是直接假定了强对偶性的成立，其实只要满足一些条件，强对偶性是成立的，比如说 Slater 条件与KKT条件。
Slater 条件
若原始问题为凸优化问题，且存在严格满足约束条件的点 $x$ ，这里的“严格”是指 $g_i(x)≤0$ 中的“$\le$”严格取到“$<$”，即存在 $x$ 满足 $g_i(x)<0$ ,$i = 1,2,…,n$ ，则存在 $x^*,\alpha^* ,\beta^*$ 使得 $x^*$ 是原始问题的解， $\alpha^* ,\beta^*$ 是对偶问题的解，且满足：
\[p^* = d^* = L(x^*,\alpha^* ,\beta^*)\]
也就是说如果原始问题是凸优化问题并且满足 Slater 条件的话，那么强对偶性成立。需要注意的是，这里只是指出了强对偶成立的一种情况，并不是唯一的情况。例如，对于某些非凸优化的问题，强对偶也成立。SVM 中的原始问题 是一个凸优化问题（二次规划也属于凸优化问题），Slater 条件在 SVM 中指的是存在一个超平面可将数据分隔开，即数据是线性可分的。当数据不可分时，强对偶是不成立的，这个时候寻找分隔平面这个问题本身也就是没有意义了，所以对于不可分的情况预先加个 kernel 就可以了。
KKT条件
假设 $x^*$ 与 $\alpha^*,\beta^*$ 分别是原始问题（并不一定是凸的）和对偶问题的最优解，且满足强对偶性，则相应的极值的关系满足：
\begin{aligned}
f(x^*) &= d^* = p^* =D(\alpha^*,\beta^*) \\
&=\min_x f(x)+ \sum_{i = 1}^m \alpha_i^*h_i(x) + \sum_{j=1}^n\beta_j^*g_j(x) \\
& \le f(x^*)+ \sum_{i = 1}^m \alpha_i^*h_i(x^*) + \sum_{j=1}^n\beta_j^*g_j(x^*) \\
&\le f(x^*)
\end{aligned}
这里第一个不等式成立是因为 $x^*$ 为 $L(x,\alpha^*,\beta^*)$ 的一个极大值点，最后一个不等式成立是因为 $h_i(x^*) = 0$ ,且 $g_j(x^*) \le 0 ,\beta_j \ge 0$，（$\beta_j \ge 0$ 是之前 (*) 式的约束条件）因此这一系列的式子里的不等号全部都可以换成等号。根据公式还可以得到两个结论：
1）第一个不等式成立是因为 $x^*$ 为 $L(x,\alpha^*,\beta^*)$ 的一个极大值点，由此可得:
\[\nabla_{x^*} L(x,\alpha^*,\beta^*) = 0\]
2）第二个不等式其实就是之前的 (*) 式，$\beta_j^*g_j(x^*)$ 都是非正的，所以这里有：
\[\beta_j^* g_j(x^*)=0, \ i=1,2,…,m\]
也就是说如果 $\beta_j^*>0$，那么必定有 $g_j(x^*)=0$ ；反过来，如果 $g_j(x^*)<0$ 那么可以得到 $\beta_j^*=0$ ，即：
\[\left \{ \begin{aligned}\beta^*_j >0 \Rightarrow g^*_j(x) = 0 \\ g^*_j(x) < 0 \Rightarrow\beta_j^*=0\end{aligned}\right .\]
这些条件都似曾相识，把它们写到一起，哎？不就是传说中的 KKT (Karush-Kuhn-Tucker) 条件么:
\begin{align} \nabla_x L(x,\alpha,\beta) &= 0 \\ \beta_jg_j(x) &= 0 , \ j=1,2,...,n\\ h_i(x)&= 0 , \ i=1,2,...,m \\ g_j(x) &\le 0 , \ j=1,2,...,n \\ \beta_j &\ge 0 , \ j=1,2,...,n \\ \end{align}
总结来说就是说任何满足强对偶性的优化问题，只要其目标函数与约束函数可微，任一对原始问题与对偶问题的解都是满足 KKT 条件的。即满足强对偶性的优化问题中，若 $x^*$ 为原始问题的最优解，$\alpha^*,\beta^*$ 为对偶问题的最优解，则可得 $x^*,\alpha^*,\beta^*$ 满足 KKT 条件。不知道够不够清楚，书中原话（P243）是这样的$^{7.1}$：
上面只是说明了必要性，当满足原始问题为凸优化问题时，必要性也是满足的，也就是说当原始问题是凸优化问题,且存在 $x^*,\alpha^*,\beta^*$ 满足 KKT 条件，那么它们分别是原始问题和对偶问题的极值点并且强对偶性成立，证明如下：
首先原始问题是凸优化问题，固定 $\alpha^*,\beta^*$ 之后对偶问题 $D(\alpha^*,\beta^*)$ 也是一个凸优化问题，$x^*$ 是 $L(x,\alpha^*,\beta^*)$ 的极值点：
\begin{aligned}
D(\alpha^*,\beta^*)
&= \min_x L(x,\alpha^*,\beta^*) \\
&= L(x^*,\alpha^*,\beta^*) \\
& = f(x^*)+\sum_{i=1}^m\alpha_i^*h_i(x^*)+\sum_{j=1}^n\beta_j^*g_j(x^*) \\
&= f(x^*)
\end{aligned}
最后一个式子是根据 KKT 条件中的 $h_i(x) = 0$ 与 $\beta_jg_j(x) = 0$ 得到的。这样一来，就证明了对偶间隔为零，也就是说，强对偶成立。 所以当原始问题为凸优化问题时，书中的原话（P244）如下$^{7.1}$：
关于对偶的问题到此为止，其实都是很优化方法中比较简单的内容。总结一下。本文介绍了对偶的基本概念，对于一个约束优化问题，找到其对偶问题，当弱对偶成立时，可以得到原始问题的一个下界。而如果强对偶成立，则可以直接求解对偶问题来解决原始问题。 SVM 就是这样的。对偶问题由于性质良好一般比原始问题更容易求解，在 SVM 中通过引入对偶问题可以将问题表示成数据的内积形式从而使得 kernel trick 的应用更加自然）。此外，还有一些情况会同时求解对偶问题与原始问题 ，比如在迭代求解的过程中，通过判断对偶间隔的大小，可以得出一个有效的迭代停止条件。
参考文献
1. https://www.cs.cmu.edu/~ggordon/10725-F12/slides/15-duality.pdf
https://www.cs.cmu.edu/~ggordon/10725-F12/slides/16-kkt.pdf
2. http://www.csc.kth.se/utbildning/kth/kurser/DD3364/Lectures/Duality.pdf
4. http://www.cnblogs.com/jerrylead/archive/2011/03/13/1982684.html
5. http://blog.pluskid.org/?p=702
6. http://blog.pluskid.org/?p=702
7.书籍 Convex Optimization Cambridge版 (7.1)| 统计学习方法 李航(7.2)
