堆排序

堆排序

堆排序（Heap Sort）算法是基于选择排序思想的算法，其利用堆结构和二叉树的一些性质来完成数据的排序。

 

什么是堆结构

堆排序的关键是首先构造堆结构。那么什么是堆结构呢？堆结构是一种树结构，准确地说是一个完全二叉树。在这个树中每个结点对应于原始数据的一个记录，并且每个结点应满足以下条件：

・如果按照从小到大的顺序排序，要求非叶结点的数据要大于或等于其左、右子结点的数据。

・如果按照从大到小的顺序排序，要求非叶结点的数据要小于或等于其左、右子结点的数据。

 

堆排序过程

一个完整的堆排序需要经过反复的两个步骤：构造堆结构和堆排序输出。下面首先分析如果构造堆结构。

 

构造堆结构

构造堆结构就是把原始的无序数据按前面堆结构的定义进行调整。首先，需要将原始的无序数据放置到一个完全二叉树的各个结点中，这可以按照前面介绍的方法来实现。

然后，由完全二叉树的下层向上层逐层对父子结点的数据进行比较，使父结点的数据大于子结点的数据。这里需要使用“筛”运算进行结点数据的调整，直到所有结点最后满足堆结构的条件为止。筛运算主要针对非叶结点进行调整。

例如，对于一个非叶结点Ai，假定Ai的左子树和右子树均已进行筛运算，也就是说其左子树和右子树均已构成堆结构。对Ai进行筛运算，操作步骤如下：

（1）比较Ai的左子树和右子树的最大值，将最大值放在Aj中。

（2）将Ai的数据与Aj的数据进行比较，如果Ai大于等于Aj，表示以Ai为根的子树已构成堆结构。便可以终止筛运算。

（3）如果Ai小于Aj，则将Ai与Aj互换位置。

（4）经过第（3）步后，可能会破坏以Ai为根的堆，因为此时Ai的值为原来的Aj。下面以Aj为根重复前面的步骤，直到满足堆结构的定义，即父结点数据大于子结点。这样，以Aj为根的子树就被调整为一个堆。

在执行筛运算时，值较小的数据将逐层下移，这就是其称为“筛”运算的原因。

 

堆排序

（1）根据堆结构的特点，堆结构的根结点也就是最大值。这里按照从小到大排序，因此将其放到数组的最后。

（2）对除最后一个结点外的其他结点重新执行前面介绍的构造堆过程。

（3）重复上述过程，取此时堆结构的根结点（最大值）进行交换，放在数组的后面。

 

 

堆排序的效率

堆排序一开始需要将n个数据存进堆里，所需时间为O（nlogn）。排序过程中，堆从空堆的状态开始，逐渐被数据填满。由于堆的高度小于log2n，所以插入1个数据所需要的时间为O（logn）。

每轮取出最大的数据并重构堆所需要的时间为O（logn）。由于总共有n轮，所以重构后排序的时间也是O（nlogn）。因此，整体来看堆排序的时间复杂度为O（nlogn）。

这样来看，堆排序的运行时间比之前讲到的冒泡排序、选择排序、插入排序的时间O（n2）都要短，但由于要使用堆这个相对复杂的数据结构，所以实现起来也较为困难。

 

动图演示

 

 

示例:

public class ClassP4_6 {

    static void constructHeap(int[] arr, int length_n) {
        int j, temp;

        // 构建堆结构
        for (int i = length_n / 2 - 1; i >= 0; i--) {//i为 非叶子节点
            while (2 * i + 1 < length_n) {//i节点有左子树
                j = 2 * i + 1;//j为 左子树
                if (j + 1 < length_n) {
                    if (arr[j] < arr[j + 1]) {//左子树 小于 右子树,则需要比较右子树
                        j++;//指向右子树
                    }
                }
                if (arr[i] < arr[j]) {
                    //交换 非叶子节点 和 左右树节点中的最大值
                    temp = arr[i];
                    arr[i] = arr[j];
                    arr[j] = temp;
                    System.out.println("i:" + i + ",j:" + j + "交换:" + ArrayUtils.toString(arr));
                    i = j;//堆被破坏,重新调整
                } else {
                    break;
                }
            }
        }
    }

    static void heapSort(int[] arr) {
        int length = arr.length;
        int temp;

        constructHeap(arr, length);
        for (int i = length - 1; i > 0; i--) {
            System.out.println(i + ArrayUtils.toString(arr));
            // 交换 根节点(最大值) 和最后1个节点
            temp = arr[0];
            arr[0] = arr[i];
            arr[i] = temp;//每次都把最大值放到 剩下节点的最后1个节点
            constructHeap(arr, i);//对剩下的节点 构建堆结构
        }
        System.out.println(ArrayUtils.toString(arr));
    }

    public static void main(String[] args) {
        // constructHeap(new int[]{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, 8);
        heapSort(new int[]{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7});
    }

}

 

结果:

?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

i:3,j:7交换:{0,1,2,7,4,5,6,3} i:2,j:6交换:{0,1,6,7,4,5,2,3} i:1,j:3交换:{0,7,6,1,4,5,2,3} i:3,j:7交换:{0,7,6,3,4,5,2,1} i:0,j:1交换:{7,0,6,3,4,5,2,1} i:1,j:4交换:{7,4,6,3,0,5,2,1} 7{7,4,6,3,0,5,2,1} i:0,j:2交换:{6,4,1,3,0,5,2,7} i:2,j:5交换:{6,4,5,3,0,1,2,7} 6{6,4,5,3,0,1,2,7} i:0,j:2交换:{5,4,2,3,0,1,6,7} 5{5,4,2,3,0,1,6,7} i:0,j:1交换:{4,1,2,3,0,5,6,7} i:1,j:3交换:{4,3,2,1,0,5,6,7} 4{4,3,2,1,0,5,6,7} i:0,j:1交换:{3,0,2,1,4,5,6,7} i:1,j:3交换:{3,1,2,0,4,5,6,7} 3{3,1,2,0,4,5,6,7} i:0,j:2交换:{2,1,0,3,4,5,6,7} 2{2,1,0,3,4,5,6,7} i:0,j:1交换:{1,0,2,3,4,5,6,7} 1{1,0,2,3,4,5,6,7} {0,1,2,3,4,5,6,7}

　　

参考:Java常用算法手册4.7

　　我的第一本算法书 2-5 堆排序