51nod 1119 机器人走方格 V2 (组合数学+逆元）

1119 机器人走方格 V2

基准时间限制：1 秒 空间限制：131072 KB 分值: 10 难度：2级算法题

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M * N的方格，一个机器人从左上走到右下，只能向右或向下走。有多少种不同的走法？由于方法数量可能很大，只需要输出Mod 10^9 + 7的结果。

 

Input

第1行，2个数M,N，中间用空格隔开。（2 <= m,n <= 1000000)

Output

输出走法的数量 Mod 10^9 + 7。

Input示例

2 3

Output示例

3


分析：因为只能向下或向右走，所以从格子（1,1）走到格子（n,m）需要向下走n-1步、向右走m-1步。一共是n-1+m-1步，不同的方案在于什么时候走向下的（n-1）步，所以是C(n-1+m-1,n-1).

而要对组合数取模，即对除法取模是不能直接在商后面取模的，只有乘法满足(a*b)%m=(a%m)*(b%m)%m.所以呢，将除法变乘法，也就是说求出除数的乘法逆元。

求乘法逆元，方法很多。比较好理解的就是费马小定理：a的乘法逆元k（a*k%mod=1)的值为a^(mod-2).这是当mod为素数的时候。不为素数呢？等于a^(phi(mod)-).  phi(mod)指mod的欧拉函数值。

#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=1e9+7;//是素数
ll pow(ll a,ll i)
{
    ll ans=1;
    while(i)
    {
        if(i&1)
            ans=ans*a%mod;
        i>>=1;
        a=a*a%mod;
    }
    return ans;
}
ll jc(ll n)
{
    ll ans=1;
    for(ll i=1;i<=n;i++)
        ans=ans*i%mod;
    return ans;
}
ll C(ll n,ll m)
{
    ll ans=1;
    ans=ans*jc(n)%mod;
    ans=ans*pow(jc(m),mod-2)%mod;
    ans=ans*pow(jc(n-m),mod-2)%mod;
    return ans;
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    int m,n;
    while(cin>>m>>n)
    {
        cout<<C(m-1+n-1,n-1)<<endl;
    }
    return 0;
}