智乃的逆序数

智乃的逆序数

题目描述

定义一个序列是“紧密”的，当且仅当序列从小到大排序后，相邻数字的差值是 $1$；

定义两个序列不相交的，当且仅当两个序列没有相同元素；

逆序数指的是在一个序列或者数组中，有多少对 $i,j$ 满足 $i<j$ 且 $a_i>a_j$；

子序列为从原数组中删除任意个（可以为零、可以为全部）元素后剩余部分保留原本顺序得到的新序列。

现在智乃给你 $n$ 个互不相交的“紧密”序列，请你构造一个长度为 $n$ 个序列的长度之和的新序列，要求新序列只能由这 $n$ 个“紧密”序列中出现的元素组成，要求每个元素都被使用到且仅使用一次，同时要求新序列包含这 $n$ 个“紧密”序列作为子序列，逆序数恰好为 $k$。

你可以认为是要求你将它们放在一起同时排序，并且保留在原序列的相对顺序，如果本来不属于同一序列，则它们之间没有限制。

输入描述:

第一行输入两个正整数 $n,k \, (1 \leq n \leq 1000,0 \leq k \leq 10^6)$。

此后 $n$ 行，第 $i$ 行先输入一个正整数 $l_i$ 表示序列的长度，随后输入 $l_i$ 个正整数 $a_{i,1}, a_{i,2}, \ldots, a_{i,l_i} \, (1 \leq a_{i,j} \leq 10^9)$，代表给定的第 $i$ 个“紧密”序列。

除此之外，保证单个测试文件的 $l_i$ ​之和不超过 $10^3$。

输出描述:

如果不存在这样的序列，直接输出 $\text{No}$；否则，在第一行输出 $\text{Yes}$，然后在第二行输出你构造的新序列。

如果存在多个解决方案，您可以输出任意一个，系统会自动判定是否正确。注意，自测运行功能可能因此返回错误结果，请自行检查答案正确性。

示例1

输入

2 21
5 2 5 3 4 1
4 7 9 8 6

输出

Yes
2 5 7 9 8 3 6 4 1

示例2

输入

2 1000000
5 100000002 100000005 100000003 100000004 100000001
4 100000007 100000009 100000008 100000006

输出

No

 

解题思路

  每个序列排序后元素是相邻的，意味着每个序列其实就是值域内连续的一段。又因为任意两个序列没有交集，意味着这些序列存在明确的大小关系（一个序列内所有元素均比另外一个小或大）。因此如果以序列的最小值（其实任意一个元素都可以）为关键字对序列进行从小到大排序，此时得到的逆序对最少，均由每个序列的内部产生。所以如果整体的逆序对数量比 $k$ 大则无解。同理将序列从大到小排序，此时得到的逆序对最多，如果整体的逆序对数量比 $k$ 小则无解。

  否则有解，我们一定可以在对序列从小到大排序后的基础上通过交换元素使得整体的逆序对数量达到 $k$。在冒泡排序中，每次交换相邻两个元素会使整体的逆序对数量减 $1$，在整个过程中交换的次数就是总的逆序对数量。所以我们可以模拟一遍冒泡排序，如果发现前一个元素比后一个小，那么就交换这两个元素，整体的逆序对会恰好加 $1$。当然这两个元素能交换的前提是不能来自同一个序列，这是因为题目要求序列每个元素的相对顺序要求保持不变。

  通过冒泡排序来逐个增加或减少逆序对的构造方法还是第一次见，不过这种做法的局限性是要求 $n$ 比较小。

  AC 代码如下，时间复杂度为 $O(n^2)$：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 1005;

vector<int> g[N];

int main() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int c;
        cin >> c;
        while (c--) {
            int x;
            cin >> x;
            g[i].push_back(x);
        }
    }
    sort(g, g + n, [&](vector<int> &a, vector<int> &b) {
        return a[0] < b[0];
    });
    vector<array<int, 2>> p;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (auto &x : g[i]) {
            p.push_back({i, x});
        }
    }
    for (int i = 0; i < p.size(); i++) {
        for (int j = 0; j < i; j++) {
            if (p[i][1] < p[j][1]) m--;
        }
    }
    if (m < 0) {
        cout << "No";
        return 0;
    }
    for (int i = 0; i < p.size(); i++) {
        for (int j = 0; j + 1 < p.size(); j++) {
            if (p[j][0] != p[j + 1][0] && p[j][1] < p[j + 1][1] && m) {
                m--;
                swap(p[j], p[j + 1]);
            }
        }
    }
    if (m) {
        cout << "No";
    }
    else {
        cout << "Yes\n";
        for (auto &q : p) {
            cout << q[1] << ' ';
        }
    }
    
    return 0;
}

 

参考资料

  【题解】2025牛客寒假算法基础集训营3：https://ac.nowcoder.com/discuss/1453293