圆

圆

题目描述

给出一个圆，圆上等距分布 $n$ 个点，编号为 $1\sim n$。

另有 $m$  条线段，第 $i$ 条线段的端点为 $x_i$ 和 ，权重为 $w_i$。

定义一个圆是优良的，当且仅当所有线段无交（端点重合也算相交）。

如上图，线段 $\{1\rightarrow 4\}$  与线段 $\{2\rightarrow 5\},\{3\rightarrow 4\}$ 相交，但是线段 $\{2\rightarrow 5\}$ 与线段 $\{3\rightarrow 4\}$ 不交。

若删掉一条边的代价为其权重，求让圆优良的最小代价。

输入描述:

第一行两个数 $n,m$。接下来 $m$  行，每行三个数 $x,y,w$，描述一条线段。

注意线段可能重合。

输出描述:

输出为一个数，即最小代价。

示例1

输入

6 4
1 4 1
2 3 3
2 4 10
5 6 2

输出

4

备注:

对于所有数据，$1\le n,m \le 2\times 10^3$，$0\le w_i \le 10^9$，$x_i\not=y_i$。

 

解题思路

  来补一下这道题，当时卡了一个多小时才想到区间 dp 的做法，本来思路都是对的，结果初始化的时候不知道抽什么风搞得很复杂，最后 WA 到结束了都没做出来。

  把圆上的线段看作区间，那么所有线段无交就等价于任意两个区间都不相交，但允许区间被完全包含（端点不能重合）。因此问题就变成了，删除若干个区间使得剩余的区间满足条件的最小代价。问题可以继续转换成，假设一开始没有区间，现在要在满足条件的前提下添加尽可能多的区间，求能添加的最大代价是多少。最后用所有区间的总代价减去这个值就是删除区间所需的最小代价。

  如果要保留某个区间 $[l,r]$，那么所有选择的区间必须严格在 $[l+1,r-1]$，$[1, l-1]$，$[r+1,n]$ 这些范围内。都是区间的形式因此可以考虑用区间 dp。

  定义 $f(l,r)$ 表示只选择 $[l,r]$ 范围内且满足条件的区间的所有方案中的最大代价。根据是否选择了左端点为 $l$ 的区间来进行状态划分。如果不选择左端点为 $l$ 的区间，那么状态转移方程就是 $f(l,r) = f(l+1,r)$。如果选择左端点为 $l$ 的区间，记 $y_i$ 和 $w_i$ 为对应区间的右端点和代价，只能选择 $y_i \leq r$ 的区间，状态转移方程为 $f(l,r) = \min\limits_{y_i \leq r}\left\{ f(y_i+1, r) + f(l+1, y_i-1) + w_i \right\}$。

  最后只需初始化所有的 $f(l,r)$ 为 $0$。答案就是 $\sum\limits_{i=1}^{m}{w_i}-f(1,n)$。

  AC 代码如下，时间复杂度为 $O(n^2)$：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 2e3 + 10;

vector<array<int, 2>> g[N];
LL f[N][N];

int main() {
    int n, m;
    scanf("%d %d", &n, &m);
    LL s = 0;
    while (m--) {
        int x, y, w;
        scanf("%d %d %d", &x, &y, &w);
        if (x > y) swap(x, y);
        g[x].push_back({y, w});
        s += w;
    }
    for (int len = 2; len <= n; len++) {
        for (int i = 1; i + len - 1 <= n; i++) {
            int j = i + len - 1;
            f[i][j] = f[i + 1][j];
            for (auto &p : g[i]) {
                if (p[0] <= j) f[i][j] = max(f[i][j], f[p[0] + 1][j] + f[i + 1][p[0] - 1] + p[1]);
            }
        }
    }
    printf("%lld", s - f[1][n]);
    
    return 0;
}

 

参考资料

  牛客练习赛122 官方题解：https://ac.nowcoder.com/discuss/1255860