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D. Letter Picking

Alice and Bob are playing a game. Initially, they are given a non-empty string $s$ , consisting of lowercase Latin letters. The length of the string is even. Each player also has a string of their own, initially empty.

Alice starts, then they alternate moves. In one move, a player takes either the first or the last letter of the string $s$ , removes it from $s$ and prepends (adds to the beginning) it to their own string.

The game ends when the string $s$ becomes empty. The winner is the player with a lexicographically smaller string. If the players' strings are equal, then it's a draw.

A string $a$ is lexicographically smaller than a string $b$ if there exists such position $i$ that $a_j = b_j$ for all $j < i$ and $a_i < b_i$ .

What is the result of the game if both players play optimally (e. g. both players try to win; if they can't, then try to draw)?

Input

The first line contains a single integer $t$ ( $1 \le t \le 1000$ ) — the number of testcases.

Each testcase consists of a single line — a non-empty string $s$ , consisting of lowercase Latin letters. The length of the string $s$ is even.

The total length of the strings over all testcases doesn't exceed $2000$ .

Output

For each testcase, print the result of the game if both players play optimally. If Alice wins, print "Alice". If Bob wins, print "Bob". If it's a draw, print "Draw".

Example

input

2
forces
abba

output

Alice
Draw

Note

One of the possible games Alice and Bob can play in the first testcase:

Alice picks the first letter in $s$ : $s=$ "orces", $a=$ "f", $b=$ "";
Bob picks the last letter in $s$ : $s=$ "orce", $a=$ "f", $b=$ "s";
Alice picks the last letter in $s$ : $s=$ "orc", $a=$ "ef", $b=$ "s";
Bob picks the first letter in $s$ : $s=$ "rc", $a=$ "ef", $b=$ "os";
Alice picks the last letter in $s$ : $s=$ "r", $a=$ "cef", $b=$ "os";
Bob picks the remaining letter in $s$ : $s=$ "", $a=$ "cef", $b=$ "ros".

Alice wins because "cef" < "ros". Neither of the players follows any strategy in this particular example game, so it doesn't show that Alice wins if both play optimally.

解题思路

动态规划还是很好想到的，但状态转移很复杂最后还是没做出来。当然在写这篇博客的时候感觉逻辑还是有点乱的，不过我已尽量去理清思路，如果我讲不明白请看其他大佬的题解吧。

把 Alice 先取走一个字符，Bob 再取走一个字符定义为一轮，那么一局游戏会在 $\frac{n}{2}$ 轮后结束。假设 Alice 和 Bob 各自的字符串为 $sa$ 和 $sb$ ，那么首个字符 $sa_1$ 和 $sb_1$ 就是第 $\frac{n}{2}$ 轮结束后得到的，第 $2$ 个字符 $sa_2$ 和 $sb_2$ 就是第 $\frac{n}{2}-1$ 轮结束后得到的，以此类推字符串最后一个字符 $sa_{n/2}$ 和 $sb_{n/2}$ 是第 $1$ 轮结束后得到的。

先用最常规的思路来做这道题。定义状态 $f(l,r)$ 表示以字符串 $s_l \sim s_r$ 进行游戏的结果，如果 $f(l,r) = 0$ 则平局，否则 $f(l,r) = 1$ 则 Alice 胜， $f(l,r) = 2$ 则 Bob 胜。以一轮为单位进行状态转移，分以下两种情况：

区间 $[l,r]$ 的长度为 $2$ 。如果 $s_l = s_r$ 则为平局， $f(l,r) = 0$ 。否则 $s_l \ne s_r$ Alice 必然会取最大的那个字符，有 $f(l,r) = 1$ 。
区间 $[l,r]$ 的长度大于 $2$ 。 $f(l,r)$ 可通过 $f(l+1,r-1)$ （Alice 和 Bob 取两端的字符）， $f(l+2,r)$ 和 $f(l, r-2)$ （Alice 和 Bob 取同一端的字符）转移过来。

可以知道区间长的状态总是由区间短的状态转移得到，因此状态转移图是一个有向无环图，可以 dp。

在任意一轮中无非就只有以下 $4$ 中情况：

Alice 取 $s_l$ ，Bob 取 $s_{l+1}$
Alice 取 $s_l$ ，Bob 取 $s_r$
Alice 取 $s_r$ ，Bob 取 $s_{r-1}$
Alice 取 $s_r$ ，Bob 取 $s_{l}$

考虑 $f(l,r) = 1$ 的情况。由于每个人都选择最优的操作，如果 Alice 会取 $s_l$ ，当且仅当无论 Bob 取 $s_{l+1}$ 或是 $s_r$ 都是 Alice 胜。分别考虑 Bob 取 $s_{l+1}$ 和 $s_r$ 的情况：

Bob 取 $s_{l+1}$ 时 Alice 在什么情况下能胜？

1. $s_l < s_{l+1}$ ：由于在这个位置上 Alice 的字符已经比 Bob 的小了，因此只要 $f(l+2,r) \ne 2$ ， $sa$ 的字典序都比 $sb$ 小，即 Alice 胜。
2. $s_l \geq s_{l+1}$ ：由于在这个位置上 Alice 的字符不比 Bob 的小，因此只有 $f(l+2,r) = 1$ 时， $sa$ 的字典序才比 $sb$ 小，Alice 才能胜。

Bob 取 $s_{r}$ 时 Alice 在什么情况下能胜？

1. $s_l < s_{r}$ ：由于在这个位置上 Alice 的字符已经比 Bob 的小了，因此只要 $f(l+1,r-1) \ne 2$ ， $sa$ 的字典序都比 $sb$ 小，即 Alice 胜。
2. $s_l \geq s_{r}$ ：由于在这个位置上 Alice 的字符不比 Bob 的小，因此只有 $f(l+1,r-1) = 1$ 时， $sa$ 的字典序才比 $sb$ 小，Alice 才能胜。

同理分析如果 Alice 取 $s_r$ ，当且仅当无论 Bob 取 $s_{r-1}$ 或是 $s_l$ 都是 Alice 胜。

如果 Alice 取 $s_l$ 或是 $s_r$ 都不能保证 Alice 胜，那么接下来 Alice 应该尽可能保证是平局。与上面的分析几乎一样，如果 Alice 会取 $s_l$ ，当且仅当无论 Bob 取 $s_{l+1}$ 或是 $s_r$ 都是平局。分别考虑 Bob 取 $s_{l+1}$ 和 $s_r$ 的情况：

在已知 Alice 不能胜的情况下，Bob 取 $s_{l+1}$ 时在什么情况下能平局？

1. $s_l \leq s_{l+1}$ ：由于在这个位置上 Alice 的字符不比 Bob 的大，因此只要 $f(l+2,r) \ne 2$ ， $sa$ 的字典序不比 $sb$ 大，Bob 不能胜。
2. $s_l > s_{l+1}$ ：由于在这个位置上 Alice 的字符比 Bob 的大，因此只有 $f(l+2,r) = 1$ 时， $sa$ 的字典序才比 $sb$ 小，Bob 不能胜。

在已知 Alice 不能胜的情况下，Bob 取 $s_{r}$ 时在什么情况下能平局？

1. $s_l \leq s_{r}$ ：由于在这个位置上 Alice 的字符不比 Bob 的大，因此只要 $f(l+1,r-1) \ne 2$ ， $sa$ 的字典序不比 $sb$ 大，Bob 不能胜。
2. $s_l > s_{r}$ ：由于在这个位置上 Alice 的字符比 Bob 的大，因此只有 $f(l+1,r-1) = 1$ 时， $sa$ 的字典序才比 $sb$ 小，Bob 不能胜。

同理分析如果 Alice 取 $s_r$ ，当且仅当无论 Bob 取 $s_{r-1}$ 或是 $s_l$ 都是平局。

如果 $f(l,r) = 1$ 和 $f(l,r) = 0$ 都不能满足，那么只有 $f(l,r) = 2$ 了，即 Bob 胜。

AC 代码如下，时间复杂度为 $O(n^2)$ ：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 2010;

char s[N];
int f[N][N];

int dfs(int l, int r) {
    if (f[l][r] != -1) return f[l][r];
    if (r - l + 1 == 2) return f[l][r] = s[l] != s[r];
    f[l][r] = 2;    // 假定Bob胜
    // 判断Alice能否胜
    if ((s[l] < s[l + 1] && dfs(l + 2, r) != 2 || s[l] >= s[l + 1] && dfs(l + 2, r) == 1) && (s[l] < s[r] && dfs(l + 1, r - 1) != 2 || s[l] >= s[r] && dfs(l + 1, r - 1) == 1)) f[l][r] = 1;
    if ((s[r] < s[r - 1] && dfs(l, r - 2) != 2 || s[r] >= s[r - 1] && dfs(l, r - 2) == 1) && (s[r] < s[l] && dfs(l + 1, r - 1) != 2 || s[r] >= s[l] && dfs(l + 1, r - 1) == 1)) f[l][r] = 1;
    if (f[l][r] == 1) return f[l][r];    // Alice能胜，直接断定
    // 否则Alice不能胜，看能否平局
    if ((s[l] <= s[l + 1] && dfs(l + 2, r) != 2 || s[l] > s[l + 1] && dfs(l + 2, r) == 1) && (s[l] < s[r] && dfs(l + 1, r - 1) != 2 || s[l] == s[r] && !dfs(l + 1, r - 1) || s[l] > s[r] && dfs(l + 1, r - 1) == 1)) f[l][r] = 0;
    if ((s[r] <= s[r - 1] && dfs(l, r - 2) != 2 || s[r] > s[r - 1] && dfs(l, r - 2) == 1) && (s[r] < s[l] && dfs(l + 1, r - 1) != 2 || s[r] == s[l] && !dfs(l + 1, r - 1) || s[r] > s[l] && dfs(l + 1, r - 1) == 1)) f[l][r] = 0;
    return f[l][r];
}

void solve() {
    scanf("%s", s);
    memset(f, -1, sizeof(f));
    int n = strlen(s);
    dfs(0, n - 1);
    if (f[0][n - 1] == 0) printf("Draw\n");
    else if (f[0][n - 1] == 1) printf("Alice\n");
    else printf("Bob\n");
}

int main() {
    int t;
    scanf("%d", &t);
    while (t--) {
        solve();
    }
    
    return 0;
}

事实上可以证明游戏的结果只有 Alice 胜或平局这两种结果，这个应该可以通过数学归纳法来证明，不过我想了很久都证不出来，感觉很麻烦。我看其他人的解释是，由于最终状态（长度为 $2$ 的串）只有 Alice 胜和平局两种状态，Bob 不能胜，所以 Bob 无论怎样都不会胜，因为其它状态都是由最终状态转移得到。这里直接用这个结论来定义状态表示。

定义状态 $f(l,r)$ 表示以字符串 $s_l \sim s_r$ 进行游戏的结果，如果 $f(l,r) = 0$ 则平局，否则 $f(l,r) = 1$ 则 Alice 胜。

考虑 $f(l,r) = 1$ 的情况（与上面的完全一样）。由于每个人都选择最优的操作，如果 Alice 会取 $s_l$ ，当且仅当无论 Bob 取 $s_{l+1}$ 或是 $s_r$ 都是 Alice 胜。分别考虑 Bob 取 $s_{l+1}$ 和 $s_r$ 的情况：

Bob 取 $s_{l+1}$ 时 Alice 在什么情况下能胜？

1. $s_l < s_{l+1}$ ：由于在这个位置上 Alice 的字符已经比 Bob 的小了，因此只要 $f(l+2,r) \ne 2$ ， $sa$ 的字典序都比 $sb$ 小，即 Alice 胜。
2. $s_l \geq s_{l+1}$ ：由于在这个位置上 Alice 的字符不比 Bob 的小，因此只有 $f(l+2,r) = 1$ 时， $sa$ 的字典序才比 $sb$ 小，Alice 才能胜。

Bob 取 $s_{r}$ 时 Alice 在什么情况下能胜？

1. $s_l < s_{r}$ ：由于在这个位置上 Alice 的字符已经比 Bob 的小了，因此只要 $f(l+1,r-1) \ne 2$ ， $sa$ 的字典序都比 $sb$ 小，即 Alice 胜。
2. $s_l \geq s_{r}$ ：由于在这个位置上 Alice 的字符不比 Bob 的小，因此只有 $f(l+1,r-1) = 1$ 时， $sa$ 的字典序才比 $sb$ 小，Alice 才能胜。

同理分析如果 Alice 取 $s_r$ ，当且仅当无论 Bob 取 $s_{r-1}$ 或是 $s_l$ 都是 Alice 胜。如果不能保证 Alice 胜，那么游戏的结果就是平局了，这是因为任意游戏都只有 Alice 胜或平局的结果。

AC 代码如下，时间复杂度为 $O(n^2)$ ：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 2010;

char s[N];
int f[N][N];

int dfs(int l, int r) {
	if (f[l][r] != -1) return f[l][r];
	if (r - l + 1 == 2) return f[l][r] = s[l] != s[r];
	f[l][r] = 0;
	if ((s[l] < s[l + 1] || dfs(l + 2, r)) && (s[l] < s[r] || dfs(l + 1, r - 1))) f[l][r] = 1;
	if ((s[r] < s[r - 1] || dfs(l, r - 2)) && (s[r] < s[l] || dfs(l + 1, r - 1))) f[l][r] = 1;
	return f[l][r];
}

void solve() {
    scanf("%s", s);
    memset(f, -1, sizeof(f));
    printf("%s\n", dfs(0, strlen(s) - 1) ? "Alice" : "Draw");
}

int main() {
	int t;
	scanf("%d", &t);
	while (t--) {
		solve();
	}
	
	return 0;
}