牌堆

牌堆

有 $n$ 张纸牌，编号 $1 \sim n$。

其中，第 $i$ 张纸牌的价值为 $v_i$。

你要玩一个游戏，具体流程如下：

首先，你要将 $n$ 张牌一张叠一张地堆成一个牌堆，牌堆中纸牌的具体排列顺序由你决定。

接下来，你需要依次进行 $m$ 次操作。

关于第 $i$ 次操作：

• 你的任务是将编号为 $a_i$ 的纸牌从牌堆中抽出，并置于牌堆顶部。
• 如果执行此次操作时，不存在纸牌位于纸牌 $a_i$ 之上，即纸牌 $a_i$ 本来就位于牌堆顶部，则此次操作无需付出任何代价。
• 如果执行此次操作时，存在纸牌位于纸牌 $a_i$ 之上，则此次操作需要付出代价，具体代价为所有位于纸牌 $a_i$ 之上的纸牌的价值之和（不要将价值和编号混淆）。

请你合理安排初始时牌堆中的纸牌排列顺序，从而使得执行完所有操作需要付出的总代价尽可能小。

输出总代价的最小可能值。

例如，如果一共有 $3$ 张纸牌，价值分别为 $1,2,3$，一共需要进行 $5$ 次操作，每次操作需要置于牌堆顶部的卡牌分别为 $1,3,2,3,1$。

那么一种最佳的初始时牌堆中纸牌排列顺序为从上到下依次为纸牌 $1,3,2$。

具体操作过程如下：

• 第 $1$ 次操作，需要将纸牌 $1$ 置于牌堆顶部，由于纸牌 $1$ 本来就在牌堆顶部，因此，所需代价为 $0$，执行完此次操作后，牌堆中纸牌排列顺序仍为 $1,3,2$。
• 第 $2$ 次操作，需要将纸牌 $3$ 置于牌堆顶部，由于纸牌 $1$ 位于纸牌 $3$ 之上，因此，所需代价为 $v_1=1$，执行完此次操作后，牌堆中纸牌排列顺序为 $3,1,2$。
• 第 $3$ 次操作，需要将纸牌 $2$ 置于牌堆顶部，由于纸牌 $1,3$ 位于纸牌 $2$ 之上，因此，所需代价为 $v_1+v_3=4$，执行完此次操作后，牌堆中纸牌排列顺序为 $2,3,1$。
• 第 $4$ 次操作，需要将纸牌 $3$ 置于牌堆顶部，由于纸牌 $2$ 位于纸牌 $3$ 之上，因此，所需代价为 $v_2=2$，执行完此次操作后，牌堆中纸牌排列顺序为 $3,2,1$。
• 第 $5$ 次操作，需要将纸牌 $1$ 置于牌堆顶部，由于纸牌 $2,3$ 位于纸牌 $1$ 之上，因此，所需代价为 $v_2+v_3=5$，执行完此次操作后，牌堆中纸牌排列顺序为 $1,3,2$。

付出的总代价为 $0+1+4+2+5=12$。

输入格式

第一行包含两个整数 $n,m$。

第二行包含 $n$ 个整数 $v_1,v_2, \ldots ,v_n$。

第三行包含 $m$ 个整数 $a_1,a_2, \ldots ,a_m$。

输出格式

一个整数，表示总代价的最小可能值。

数据范围

前 $3$ 个测试点满足 $2 \leq n \leq 3$，$1 \leq m \leq 5$。
所有测试点满足 $2 \leq n \leq 500$，$1 \leq m \leq 1000$，$1 \leq v_i \leq 100$，$1 \leq a_i \leq n$。

输入样例：

3 5
1 2 3
1 3 2 3 1

输出样例：

12

 

解题思路

　　猜对了做法，来补一下证明。

　　先看第$1$次操作$a_1$，考虑$a_1$在初始卡牌中的位置。如果直接把$a_1$放在开头那么第$1$次操作就不需要执行，代价为$0$。否则把$a_1$放在后面的位置（除开头外的位置），那么代价就是前面所有牌的价值之和（大于$0$）。因此我们可以把$a_1$在初始卡牌中的位置分成两类，一类是放开头，另一类是不放开头。可以发现对于不放开头的情况，在操作完后$a_1$就变到了的开头的位置，这就变成了$a_1$放开头的情况。另外可以发现，不管是$a_1$放开头还是不放开头，在操作后其他牌的顺序都不变，即得到的结果都一样，而不放开头则会产生代价，因此必然选择第一种方案（$a_1$放开头）最优。

　　接着考虑$a_2$，如果$a_2 = a_1$，由于本身就在开头因此代价为$0$。否则$a_2 \ne a_1$，一样的可以把$a_2$在初始卡牌中的位置分成两类：一类是放第$2$个位置（$a_1$已经放在第$1$个位置了），另一类是放第$2$个位置之后的位置。用同样的分析方法可以发现选择第一种方案最优。

　　更一般的，定义$p$表示初始卡牌在经过每次操作后变化的结果。考虑$a_i$，如果$a_i$没有在之前出现过，那么$a_i$应该在初始卡牌中的第$k$个位置，其中$k$表示$1 \sim i-1$中出现过的牌的种类（因为每次操作后都要把牌移到开头，因此之前出现过的牌必然在$a_i$的前面）。要把$a_i$移动到开头，代价就是$\sum\limits_{j=1}^{k}{v_{p_j}}$。如果$a_i$在之前出现过，那么直接在$p$中找到$a_i$的位置$j$，累加前面的牌的价值就好了，代价就是$\sum\limits_{u=1}^{j-1}{v_{p_u}}$，然后再把$a_i$移到开头。

　　AC代码如下，时间复杂度为$O(nm)$：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 510, M = 1010;

int v[N], a[M], p[N];
bool vis[N];

int main() {
    int n, m;
    scanf("%d %d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d", v + i);
    }
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        scanf("%d", a + i);
    }
    int ret = 0;
    for (int i = 1, k = 0; i <= m; i++) {
        if (!vis[a[i]]) {   // a[i]在之前没有出现过
            vis[a[i]] = true;
            for (int j = k; j; j--) {   // 1~k都往后移一位，把a[i]放开头，同时累加前面牌的代价
                p[j + 1] = p[j];
                ret += v[p[j]];
            }
            p[1] = a[i];
            k++;    // 多了一种牌
        }
        else {  // a[i]在之前出现过
            for (int j = 1; j <= k; j++) {
                if (p[j] == a[i]) { // 找到a[i]的位置
                    for (int u = j - 1; u; u--) {   // 1~j都往后移一位，把a[i]放开头，同时累加前面牌的代价
                        p[u + 1] = p[u];
                        ret += v[p[u]];
                    }
                    p[1] = a[i];
                    break;
                }
            }
        }
    }
    printf("%d", ret);
    
    return 0;
}

 

参考资料

　　AcWing 4955. 牌堆（AcWing杯 - 周赛）：https://www.acwing.com/video/4702/