砝码称重

砝码称重

给定一个天平和 $101$ 个砝码。

$101$ 个砝码的重量依次为 $n_0,n_1,n_2, \ldots ,n_{100}$ 克，其中 $n$ 是一个不小于 $2$ 的整数。

请你判断，我们能否利用给定天平和砝码对重量为 $m$ 克的物品进行称重。

注意，天平的两端都可以放入砝码。

具体来说，你的任务是判断是否可以在天平的左盘放入重量为 $m$ 克的物品以及一些砝码（也可以不放砝码），并在天平的右盘放入一些砝码，从而使得天平的两端可以保持平衡。

不要求用到所有砝码，挑选合适的砝码使用即可。

例如，如果 $n=3,m=7$，则我们可以在天平的左盘放入重量为 $7$ 克的物品以及重量为 $3$ 克的砝码，并在天平的右盘放入重量为 $1,9$ 克的砝码，这样可以使得天平两端保持平衡。

输入格式

共一行，包含两个整数 $n,m$。

输出格式

如果可以对重量为 $m$ 克的物品进行称重，则输出 YES，否则输出 NO。

数据范围

前 $5$ 个测试点满足 $2 \leq n \leq 100$，$1 \leq m \leq 100$。
所有测试点满足 $2 \leq n \leq {10}^9$，$1 \leq m \leq {10}^9$。

输入样例1：

3 7

输出样例1：

YES

输入样例2：

100 99

输出样例2：

YES

输入样例3：

100 50

输出样例3：

NO

 

解题思路

　　比赛的时候卡了很久。

　　这题本质就是问是否存在一组系数$c_i \in \{ -1,0,1 \}$使得等式$m = \sum\limits_{i=0}^{100} {c_i \cdot n^i}$成立。先把$m$放在天平左侧，如果砝码放右侧那么$c_i = 1$，放左侧则$c_i = -1$，不放则$c_i = 0$。

　　把$m = \sum\limits_{i=0}^{100} {c_i \cdot n^i}$展开得到$m = c_0 + c_1 \cdot n + \cdots c_{100} \cdot n^{100}$，对等式两边同时模$n$，那么必然会有$m \equiv c_0 \pmod{n}$。其中如果$n=2$那么相当于用二进制表示$m$，必然有解。如果$n \geq 3$，那么$-1,0,1$在模$n$下是唯一的，因此不存在$m \bmod{n}$可以同时等于多个值。

　　因此直接枚举$-1,0,1$，如果存在某个值$x \in \{ -1,0,1 \}$使得$m - x \equiv 0 \pmod{n}$，那么$c_0$直接取$x$，然后令$m = \frac{m - x}{n}$，此时就有$m = c_1 + c_2 \cdot n^2 + \cdots c_{100} \cdot n^{99}$，然后用相同的方法来判断剩余的$c_i$就可以了。

　　AC代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int mp[3] = {-1, 0, 1};

int main() {
    int n, m;
    scanf("%d %d", &n, &m);
    while (m) {
        bool flag = false;
        for (int i = 0; i < 3; i++) {
            if ((m - mp[i]) % n == 0) {
                flag = true;
                m = (m - mp[i]) / n;
            }
        }
        if (!flag) {
            printf("NO");
            return 0;
        }
    }
    printf("YES");
    
    return 0;
}

 

参考资料

　　AcWing 4942. 砝码称重（第二届ACC(AcWing Cup)全国联赛）：https://www.acwing.com/video/4682/