砝码称重
砝码称重
给定一个天平和 $101$ 个砝码。
$101$ 个砝码的重量依次为 $n_0,n_1,n_2, \ldots ,n_{100}$ 克,其中 $n$ 是一个不小于 $2$ 的整数。
请你判断,我们能否利用给定天平和砝码对重量为 $m$ 克的物品进行称重。
注意,天平的两端都可以放入砝码。
具体来说,你的任务是判断是否可以在天平的左盘放入重量为 $m$ 克的物品以及一些砝码(也可以不放砝码),并在天平的右盘放入一些砝码,从而使得天平的两端可以保持平衡。
不要求用到所有砝码,挑选合适的砝码使用即可。
例如,如果 $n=3,m=7$,则我们可以在天平的左盘放入重量为 $7$ 克的物品以及重量为 $3$ 克的砝码,并在天平的右盘放入重量为 $1,9$ 克的砝码,这样可以使得天平两端保持平衡。
输入格式
共一行,包含两个整数 $n,m$。
输出格式
如果可以对重量为 $m$ 克的物品进行称重,则输出 YES,否则输出 NO。
数据范围
前 $5$ 个测试点满足 $2 \leq n \leq 100$,$1 \leq m \leq 100$。
所有测试点满足 $2 \leq n \leq {10}^9$,$1 \leq m \leq {10}^9$。
输入样例1:
3 7
输出样例1:
YES
输入样例2:
100 99
输出样例2:
YES
输入样例3:
100 50
输出样例3:
NO
解题思路
比赛的时候卡了很久。
这题本质就是问是否存在一组系数$c_i \in \{ -1,0,1 \}$使得等式$m = \sum\limits_{i=0}^{100} {c_i \cdot n^i}$成立。先把$m$放在天平左侧,如果砝码放右侧那么$c_i = 1$,放左侧则$c_i = -1$,不放则$c_i = 0$。
把$m = \sum\limits_{i=0}^{100} {c_i \cdot n^i}$展开得到$m = c_0 + c_1 \cdot n + \cdots c_{100} \cdot n^{100}$,对等式两边同时模$n$,那么必然会有$m \equiv c_0 \pmod{n}$。其中如果$n=2$那么相当于用二进制表示$m$,必然有解。如果$n \geq 3$,那么$-1,0,1$在模$n$下是唯一的,因此不存在$m \bmod{n}$可以同时等于多个值。
因此直接枚举$-1,0,1$,如果存在某个值$x \in \{ -1,0,1 \}$使得$m - x \equiv 0 \pmod{n}$,那么$c_0$直接取$x$,然后令$m = \frac{m - x}{n}$,此时就有$m = c_1 + c_2 \cdot n^2 + \cdots c_{100} \cdot n^{99}$,然后用相同的方法来判断剩余的$c_i$就可以了。
AC代码如下:
1 #include <bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 4 int mp[3] = {-1, 0, 1}; 5 6 int main() { 7 int n, m; 8 scanf("%d %d", &n, &m); 9 while (m) { 10 bool flag = false; 11 for (int i = 0; i < 3; i++) { 12 if ((m - mp[i]) % n == 0) { 13 flag = true; 14 m = (m - mp[i]) / n; 15 } 16 } 17 if (!flag) { 18 printf("NO"); 19 return 0; 20 } 21 } 22 printf("YES"); 23 24 return 0; 25 }
参考资料
AcWing 4942. 砝码称重(第二届ACC(AcWing Cup)全国联赛):https://www.acwing.com/video/4682/
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