佳佳的斐波那契
佳佳的斐波那契
佳佳对数学,尤其对数列十分感兴趣。
在研究完 Fibonacci 数列后,他创造出许多稀奇古怪的数列。
例如用 表示 Fibonacci 前 项和 的值,即 ,其中 。
可这对佳佳来说还是小菜一碟。
终于,她找到了一个自己解决不了的问题。
用 表示 Fibonacci 数列前 项变形后的和 的值。
现在佳佳告诉你了一个 和 ,请求出 的值。
输入格式
共一行,包含两个整数 和 。
输出格式
共一行,输出 的值。
数据范围
输入样例:
5 5
输出样例:
1
样例解释
解题思路
首先我们知道如果要求斐波那契数列的前项和,可以通过构造向量,以及矩阵,得到,从而通过递推与矩阵乘法的结合律得到,这样就可以得到了。
对于这题的如果直接构造矩阵的话会发现元素含有变量,这样每一项的都不一样,无法得到这种形式。尝试构造
得到,即。同时根据得到,因此可以构造,,那么就会有
因此有递推式,其中。
AC代码如下,时间复杂度为:
1 #include <bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 4 int mod; 5 int a[4][4] = { 6 {0, 1, 0, 0}, 7 {1, 1, 1, 0}, 8 {0, 0, 1, 1}, 9 {0, 0, 0, 1} 10 }; 11 12 void mul(int c[][4], int a[][4], int b[][4]) { 13 int tmp[4][4] = {0}; 14 for (int i = 0; i < 4; i++) { 15 for (int j = 0; j < 4; j++) { 16 for (int k = 0; k < 4; k++) { 17 tmp[i][j] = (tmp[i][j] + 1ll * a[i][k] * b[k][j]) % mod; 18 } 19 } 20 } 21 memcpy(c, tmp, sizeof(tmp)); 22 } 23 24 int main() { 25 int n; 26 scanf("%d %d", &n, &mod); 27 int f[4][4] = {0, 1, 0, 0}, k = n; 28 while (k) { 29 if (k & 1) mul(f, f, a); 30 mul(a, a, a); 31 k >>= 1; 32 } 33 printf("%d", ((1ll * n * f[0][2] - f[0][3]) % mod + mod) % mod); 34 35 return 0; 36 }
参考资料
AcWing 1304. 佳佳的斐波那契(算法提高课):https://www.acwing.com/video/715/
本文来自博客园,作者:onlyblues,转载请注明原文链接:https://www.cnblogs.com/onlyblues/p/17266580.html
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