关于多项式方程所在剩余系的余数循环周期的猜想与推导

前言

  由于解决这个问题的做法完全是我个人主观完成的,因此可能会存在很严重的错误,如果发现任何的问题与错误请在评论区进行提出指正。还有这个问题在数论中应该有个专业的名词,如果有人知道的话也麻烦在评论区留言告知。

 

正文

  本文尝试解决的问题为:对于 xZ 多项式方程 f(x)=i=0naixi 在模 m 意义下所对应的剩余系中,寻找一个非最小的余数循环周期 T 使得

i=0nai(x+T)ii=0naixi(modm)

  为什么是非最小呢?其实直接取 T=m 就满足上面那个同余方程了。实际上如果要求最小的 T 会涉及到高次同余式的求解,我现在还不会qwq。所以就退而求次,求一个尽可能最小的周期 T,同样可以满足 f(x+T)f(x)(modm)

  比如要找到一个最小的 T 满足高次同余式 i=0naiTi0(modm)。正规解法的话我还没学,这里只是记录我想到能得到尽可能小的 T 的做法。就是让每一项的 T 都满足 aiTi0(modm),然后对 n 组方程的 T 取最小公倍数。

  为了方便理解,我们先从数据规模较小的 n 开始模拟,然后再推到更一般的情况。

  当 n=1,此时 f(x)=a0+a1x,对于 xZ

f(x+T)=a0+a1(x+T)(modm)a0+a1x+a1T(modm)f(x)+a1T(modm)

  为了使得 f(x+T)f(x)(modm),很明显我们应该让 a1T0(modm)

  即有 ma1T,等价于 mgcd(m,a1) | T

  这意味着 T 应该是 mgcd(m,a1) 的倍数,因此可以令 T=mgcd(m,a1)

  当 n=2,此时 f(x)=a0+a1x+a2x2,对于 xZ

f(x+T)=a0+a1(x+T)+a2(x+T)2(modm)a0+a1x+a2x2+(2a2x+a1)T+a2T2(modm)f(x)+(2a2x+a1)T+a2T2(modm)

  此时应该让 (2a2x+a1)T+a2T20(modm)

  注意到由于是对于 xZ 上面的同余方程都要成立,因此我们在求解 T 时不应该考虑 x 的取值,即可以把 x 从中去除,因此要求解的同余方程就变成了 (2a2x+a1)T+a2T20(modm)

  令

{(2a2x+a1)T0(modm)a2T20(modm)

{m(2a2x+a1)Tma2T2

{mgcd(m,2a2x+a1)|Tmgcd(m,a2)|T2

  我们当然可以直接令 T=lcm[mgcd(m,2a2x+a1), mgcd(m,a2)],但为了使得 T 尽可能的小,对 mgcd(m,a2) 进行质因数分解,得到
mgcd(m,a2)=P2,1α2,1P2,2α2,2P2,k2α2,k2

  可以发现,对于 mgcd(m,a2)|T2 的情况,当 T=P2,1α2,12P2,2α2,22P2,k2α2,k22,可以取到满足条件的最小的 T

  为了统一起来,对于 mgcd(m,2a2x+a1)|T 的情况,先对 mgcd(m,2a2x+a1) 进行质因数分解,得到
mgcd(m,2a2x+a1)=P1,1α1,1P1,2α1,2P1,k1α1,k1

  此时令 T=P1,1α1,11P1,2α1,21P1,k1α1,k11,就等价于 T=mgcd(m,2a2x+a1)

  然后对两者取最小公倍数,就有
T=lcm[P1,1α1,11P1,2α1,21P1,k1α1,k11 ,  P2,1α2,12P2,2α2,22P2,k2α2,k22]

  这时可以考虑更加一般的情况了。

  先对式子 i=0nai(x+T)i 进行等价变形:

i=0nai(x+T)i=a0+a1(x+T)+a2(x+T)2++ai(x+T)i++an(x+T)n=a0+a1j=01C1jx1jTj+a2j=02C2jx2jTj++aij=0iCijxijTj++anj=0nCnjxnjTj=(a0+a1x+a2x2++aixi++anxn)    +(a1j=11C1jx1jTj+a2j=12C2jx2jTj++aij=1iCijxijTj++anj=1nCnjxnjTj)=i=0naixi+i=1n(aij=1iCijxijTj)

  即在模 m 意义下要使得
     i=0nai(x+T)i=i=0naixi+i=1n(aij=1iCijxijTj)i=0naixi(modm)

  即对于任意的 xZ,要求 T 使得

i=1n(aij=1iCijTj)0(modm)

  对上式进行等价变形就会得到
j=1n(i=jnCijai)Tj0(modm)

  每一项在模 m 意义下余 0,得到
{mgcd(m, i=1nCi1ai) | Tmgcd(m, i=2nCi2ai) | T2                 mgcd(m, i=jnCijai) | Tj                 mgcd(m, i=nnCinai) | Tn

  对每一项的除数进行质因数分解,得到

mgcd(m, i=jnCijai)=i=1kjPj,iαj,i

  那么要求的 T 就是
T=lcm1jn[i=1kjPj,iαj,ij]

  以上。

  感觉很笨是吧,明明有正解(解高次同余式)了,上面的方法不仅复杂,甚至都不是求出余数循环的最小周期 T。这篇记录就当作图一乐吧,毕竟很少有机会取思考数学问题。

  当然还有多项式真假分式的情况,这个就太难了没什么思路。

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