城市通电

城市通电

平面上遍布着 $n$ 座城市，编号 $1 \sim n$。

第 $i$ 座城市的位置坐标为 $(x_i,y_i)$。

不同城市的位置有可能重合。

现在要通过建立发电站和搭建电线的方式给每座城市都通电。

一个城市如果建有发电站，或者通过电线直接或间接的与建有发电站的城市保持连通，则该城市通电。

在城市 $i$ 建立发电站的花费为 $c_i$ 元。

在城市 $i$ 与城市 $j$ 之间搭建电线所需的花费为每单位长度 $k_i+k_j$ 元。

电线只能沿上下左右四个方向延伸，电线之间可以相互交叉，电线都是双向的。

每根电线都是由某个城市沿最短路线搭建到另一个城市。

也就是说，如果在城市 $i$ 与城市 $j$ 之间搭建电线，则电线的长度为 $|x_i−x_j|+|y_i−y_j|$。

请问，如何合理设计通电方案，可以使得所有城市都成功通电，且花费最少？

输出最少花费和具体方案。

如果方案不唯一，则输出任意一种合理方案均可。

输入格式

第一行包含整数 $n$。

接下来 $n$ 行，其中第 $i$ 行包含两个整数 $x_i,y_i$，用来描述城市 $i$ 的横纵坐标。

再一行包含 $n$ 个整数 $c_1,c_2, \ldots ,c_n$，用来描述每个城市建立发电站的花费。

最后一行包含 $n$ 个整数 $k_1,k_2, \ldots ,k_n$。

输出格式

第一行输出所需要的最少花费。

第二行输出一个整数 $v$，表示需要建立发电站的数量。

第三行输出 $v$ 个整数，表示建立发电站的城市编号，注意输出编号要在范围 $[1,n]$ 内。且输出编号不应重复。输出编号顺序随意。

第四行输出一个整数 $e$，表示需要搭建的电线数量。

接下来 $e$ 行，每行输出两个整数 $a,b$，表示要在城市 $a$ 和 $b$ 之间搭建电线。注意，任意两个城市之间最多只需要搭建一根电线，也就是说，对于每个 $(a,b)$，不要有多余的 $(a,b)$ 或 $(b,a)$ 输出。$a$ 和 $b$ 不能相同，且要在范围 $[1,n]$ 内。输出电线顺序随意。

如果答案不唯一，输出任意合理方案即可。

数据范围

对于前三个测试点，$1 \leq n \leq 3$。
对于全部测试点，$1 \leq n \leq 2000$，$1 \leq x_i,y_i \leq {10}^{6}$，$1 \leq c_i,k_i \leq {10}^{9}$。

输入样例1：

3
2 3
1 1
3 2
3 2 3
3 2 3

输出样例1：

8
3
1 2 3 
0

输入样例2：

3
2 1
1 2
3 3
23 2 23
3 2 3

输出样例2：

27
1
2 
2
1 2
2 3

 

解题思路

　　看上去像是个求最小生成树的问题，但实际上要保证每个城市通电不一定是一棵树的形式，只要每个连通块内存在一个点是发电站就可以。有个trick就是建立一个超级源点，如果某个点是发电站，那么这个点就与超级源点连一条边，边的权重就是在这个点建立发电站的代价，这样就把若干个连通块变成一个连通块，变成了求最小生成树的问题。

　　对于原图中的每一个合法方案，由于每一个连通块中的点都与发电站连通，而在新图中每个发电站都与超级源点相连，因此每个点都与超级源点连通，因此就对应一颗生成树（原图中不存在环，否则去掉某条边代价会变小，因此得到的连通图是一颗生成树）。因此原图中的每一个方案都对应新图中的一棵生成树。对于原图中每个方案的代价，在新图中与之对应的代价也是一样的。反过来在新图中的每个方案，如果某个点与超级源点相连，那么在这个点建发电站，否则其余的边不变，代价与对应的原图也是一样的。因此两个集合中的元素是一一对应的，求原图中方案的最小值就等价于求新图中方案的最小值。而新图中的最小值就是所有生成树中的最小生成树。

　　这里求最小生成树用 Kruskal，时间复杂度为$O(m \log m)$，其中$m = C_{n}^{2} + n$。

　　AC代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 2010, M = N * N;

struct Node {
    int v, w;
    LL wt;
    
    bool operator<(Node &t) {
        return wt < t.wt;
    }
}e[M];
int x[N], y[N];
int a[N], b[N];
int fa[N];

int find(int x) {
    return fa[x] == x ? fa[x] : fa[x] = find(fa[x]);
}

int main() {
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d %d", x + i, y + i);
    }
    int sz = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d", a + i);
        e[sz++] = {0, i, a[i]}; // 设第0个点为超级源点，发电站与0号点连一条边
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d", b + i);
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {  // 完全图，每两个点建一条边
        for (int j = 1; j < i; j++) {
            e[sz++] = {i, j, (LL)(abs(x[i] - x[j]) + abs(y[i] - y[j])) * (b[i] + b[j])};
        }
    }
    sort(e, e + sz);
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        fa[i] = i;
    }
    LL ret = 0;
    vector<int> ans1;
    vector<vector<int>> ans2;
    for (int i = 0; i < sz; i++) {  // 求最小生成树
        int v = e[i].v, w = e[i].w;
        LL wt = e[i].wt;
        int pv = find(v), pw = find(w);
        if (pv != pw) {
            fa[pv] = pw;
            ret += wt;
            if (!v) ans1.push_back(w);
            else ans2.push_back({v, w});
        }
    }
    printf("%lld\n%d\n", ret, ans1.size());
    for (auto &x : ans1) {
        printf("%d ", x);
    }
    printf("\n%d\n", ans2.size());
    for (auto &p : ans2) {
        printf("%d %d\n", p[0], p[1]);
    }
    
    return 0;
}

 

参考资料

　　AcWing 3728. 城市通电（蓝桥杯集训·每日一题）：https://www.acwing.com/video/4650/