构造有向无环图

构造有向无环图

给定一个由 $n$ 个点和 $m$ 条边构成的图。

不保证给定的图是连通的。

图中的一部分边的方向已经确定，你不能改变它们的方向。

剩下的边还未确定方向，你需要为每一条还未确定方向的边指定方向。

你需要保证在确定所有边的方向后，生成的图是一个有向无环图（即所有边都是有向的且没有有向环的图）。

输入格式

第一行包含整数 $T$，表示共有 $T$ 组测试数据。

每组数据第一行包含两个整数 $n,m$。

接下来 $m$ 行，每行包含三个整数 $t,x,y$，用来描述一条边的信息，其中 $t$ 表示边的状态，如果 $t=0$，则表示边是无向边，如果 $t=1$，则表示边是有向边。$x,y$ 表示这条边连接的两个端点，如果是有向边则边的方向是从 $x$ 指向 $y$。

保证图中没有重边（给定了 $(x,y)$，就不会再次出现 $(x,y)$ 或出现 $(y,x)$）和自环（不会出现 $x=y$ 的情况）。

输出格式

对于每组数据，如果无法构造出有向无环图，则输出一行 NO 。

否则，先输出一行 YES ，随后 $m$ 行，每行包含两个整数 $x,y$，用来描述最终构造成的有向无环图中的每条边的具体方向（$x$ 指向 $y$），边的先后顺序随意。

注意，已经确定方向的边，不能更改方向。

如果答案不唯一，输出任意合理方案均可。

数据范围

对于前三个测试点，$1 \leq n,m \leq 10$。
对于全部测试点，$1 \leq T \leq 20000$，$2 \leq n \leq 2 \times {10}^{5}$，$1 \leq m \leq \min \left(2 \times {10}^{5},\frac{n(n−1)}{2} \right)$，$0 \leq t \leq 1$，$1 \leq x,y \leq n$。
保证在一个测试点中，所有 $n$ 的和不超过 $2 \times {10}^{5}$，所有 $m$ 的和不超过 $2 \times {10}^{5}$。

输入样例：

4
3 1
0 1 3
5 5
0 2 1
1 1 5
1 5 4
0 5 2
1 3 5
4 5
1 1 2
0 4 3
1 3 1
0 2 3
1 2 4
4 5
1 4 1
1 1 3
0 1 2
1 2 4
1 3 2

输出样例：

YES
3 1
YES
2 1
1 5
5 4
2 5
3 5
YES
1 2
3 4
3 1
3 2
2 4
NO

 

解题思路

　　先只考虑有向边，如果有向边构成的图本身就存在环，那么不管无向边怎么定义方向，整个图还是存在环的。因此如果有向边已经构成环，那么一定无解。

　　对于有向边不构成环的情况，假设整个图是一个拓扑图，那么一定存在拓扑序。对于一个拓扑序，每条有向边一定是从前指向后的，而无向边一定连接某两个点（不存在自环），因此我们可以让每条无向边也从前指向后，仍然是个拓扑序，因此构造的整个图是个拓扑图。

　　因此如果有向边无环，那么我们一定能够构造出一组解使得整个图是拓扑图，因此必然有解。

　　AC代码如下，时间复杂度为$O(n+m)$：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 2e5 + 10;

int head[N], e[N], ne[N], idx;
int deg[N];
int x[N], y[N]; // 存无向边
int q[N];
int p[N];

void add(int v, int w) {
    e[idx] = w, ne[idx] = head[v], head[v] = idx++;
}

void solve() {
    int n, m;
    scanf("%d %d", &n, &m);
    idx = 0;
    memset(head, -1, n + 10 << 2);
    memset(deg, 0, n + 10 << 2);
    int sz = 0;
    while (m--) {
        int t, v, w;
        scanf("%d %d %d", &t, &v, &w);
        if (t) add(v, w), deg[w]++; // 建有向边的图
        else x[sz] = v, y[sz] = w, sz++;    // 存无向边
    }
    int hh = 0, tt = -1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (!deg[i]) q[++tt] = i;
    }
    while (hh <= tt) {  // 对有向边构成的图跑一遍拓扑排序
        int t = q[hh++];
        for (int i = head[t]; i != -1; i = ne[i]) {
            if (--deg[e[i]] == 0) q[++tt] = e[i];
        }
    }
    if (tt != n - 1) {  // 如果有环说明队列中的点数小于n
        printf("NO\n");
        return;
    }
    printf("YES\n");
    for (int i = 1; i <= n; i++) {  // 输出有向边
        for (int j = head[i]; j != -1; j = ne[j]) {
            printf("%d %d\n", i, e[j]);
        }
    }
    for (int i = 0; i < n; i++) {   // 此时队列中的元素就是拓扑序，求每个点在拓扑序中的位置
        p[q[i]] = i;
    }
    for (int i = 0; i < sz; i++) {
        if (p[x[i]] > p[y[i]]) swap(x[i], y[i]);    // 无向边的方向定义为拓扑序的从左往右
        printf("%d %d\n", x[i], y[i]);
    }
}

int main() {
    int t;
    scanf("%d", &t);
    while (t--) {
        solve();
    }
    
    return 0;
}

 

参考资料

　　AcWing 3696. 构造有向无环图（蓝桥杯集训·每日一题）：https://www.acwing.com/video/4642/